Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Функції множини змінних


Функції множини змінних

Завантажити реферат: Функції множини змінних

Зміст реферату

Вступ

1. Безліч
Функції множини змінних та відстань у ньому.

2. Відкриті та замкнуті множини в
Функції множини змінних

3. Сфера
Функції множини змінних

4. Деякі властивості сфери
Функції множини змінних

Список використаних джерел

Вступ

Багато величин, що представляють інтерес, залежать не від одного, а від дуже багатьох факторів, і якщо сама величина і кожен із визначальних його факторів можуть бути охарактеризовані деяким числом, то зазначена залежність зводиться до того, що впорядкований набір
Функції множини зміннихчисел, кожне з яких описує стан відповідного фактора, стає у відповідність значення досліджуваної величини, яке вона набуває при цьому стані визначальних величину факторів.

Наприклад, площа прямокутника є добутком довжин його сторін; обсяг даної кількості газу обчислюється за формулою

Функції множини змінних,

де
Функції множини змінних— Постійна,
Функції множини змінних— Маса,
Функції множини змінних— Абсолютна температура і
Функції множини змінних— Тиск газу. Таким чином, значення
Функції множини зміннихзалежить від змінної впорядкованої трійки чисел
Функції множини зміннихабо, як кажуть
Функції множини зміннихє функція трьох змінних
Функції множини змінних.

Ми ставимо собі за мету навчитися досліджувати функції багатьох змінних так само, як ми навчилися досліджувати функції одного змінного.

Як і у випадку функції одного змінного, вивчення функції багатьох числових змінних починається з опису їхньої області визначення.

1. Безліч
Функції множини зміннихта відстань у ньому.

Умовимося через
Функції множини зміннихпозначати безліч усіх упорядкованих наборів
Функції множини змінних, що складаються з
Функції множини зміннихдійсних чисел
Функції множини зміннихФункції множини змінних.

Кожен такий набір позначатимемо однією літерою
Функції множини зміннихі відповідно до зручної геометричної термінології називати точкою множини
Функції множини змінних.

Число
Функції множини змінниху наборі
Функції множини зміннихназивають
Функції множини змінних-й координатою точки
Функції множини змінних.

Геометричні аналогії можна продовжити і ввести на безлічі
Функції множини зміннихвідстань між точками
Функції множини змінних,
Функції множини зміннихза формулою

Функції множини змінних (1)

Функція

Функції множини змінних,

визначається формулою (1), очевидно, має наступні властивості:

Функції множини змінних;

Функції множини змінних;

Функції множини змінних;

Функції множини змінних

Остання нерівність (звана знов-таки за геометричною аналогією нерівністю трикутника) є окремим випадком нерівності Мінковського.

Функцію, визначену на парах
Функції множини зміннихточок деякої множини
Функції множини зміннихі володіє властивостями a), b), c), d), називають метрикою або відстанню в
Функції множини змінних.

Безліч
Функції множини зміннихразом із фіксованою у ньому метрикою називають метричним простором.

Таким чином, ми перетворили
Функції множини змінниху метричний простір, наділивши
Функції множини зміннихметрикою, заданою співвідношенням (1).

З співвідношення (1) випливає, що за
Функції множини змінних

Функції множини змінних (2)

тобто відстань між точками
Функції множини зміннихмало в тому і лише в тому випадку, коли мало відрізняються відповідні координати цих точок.

З (2), як і з (1), видно, що при
Функції множини зміннихбезліч
Функції множини зміннихзбігається з безліччю дійсних чисел, відстань між точками якого вимірюється стандартним чином за допомогою модуля різниці чисел.

2. Відкриті та замкнуті множини в
Функції множини змінних

Визначення 1. При
Функції множини зміннихбезліч

Функції множини змінних

називається кулею з центром
Функції множини зміннихрадіусу
Функції множини зміннихабо також
Функції множини змінних-навколо точки
Функції множини змінних.

Визначення 2. Безліч
Функції множини зміннихназивається відкритим у
Функції множини зміннихякщо для будь-якої точки
Функції множини зміннихзнайдеться куля
Функції множини зміннихтакий, що
Функції множини змінних.

приклад 1.
Функції множини змінних— Відкрите безліч в
Функції множини змінних.

приклад 2.
Функції множини змінних— Порожня безліч — взагалі не містить точок і тому може вважатися таким, що задовольняє визначенню 2, тобто.
Функції множини змінних— Відкрите безліч в
Функції множини змінних.

Приклад 3. Куля
Функції множини змінних— Відкрите безліч в
Функції множини змінних.

Справді, якщо
Функції множини змінних, тобто.
Функції множини змінних, то при
Функції множини зміннихбуде
Функції множини змінних, оскільки

Функції множини змінних.

Приклад 4. Безліч
Функції множини змінних, Т. е. сукупність точок, віддалених від фіксованої точки
Функції множини зміннихна відстань більше ніж
Функції множини зміннихє відкритим, що, як і прикладі 3, легко перевірити, використовуючи нерівність трикутника для метрики.

Визначення 3. Безліч
Функції множини зміннихназивається замкнутим у
Функції множини змінних, якщо його доповнення
Функції множини зміннихв
Функції множини зміннихє безліччю, відкритим в
Функції множини змінних.

Приклад 5. Безліч
Функції множини змінних, Т. е. сукупність точок, віддалених від фіксованої точки
Функції множини зміннихне більше ніж на
Функції множини змінних, є замкнутим, що випливає з визначення 3 і 4 прикладу.
Функції множини зміннихназивають замкнутою кулею з центром
Функції множини зміннихрадіусу
Функції множини змінних.

3. Сфера
Функції множини змінних

Сфера – безліч
Функції множини зміннихточок
Функції множини зміннихевклідова простору
Функції множини змінних, що знаходяться від деякої точки
Функції множини змінних(центр сфери) на постійній відстані
Функції множини змінних(Радіус сфери), тобто.

Функції множини змінних.

Сфера
Функції множини змінних— пара точок, сфера
Функції множини змінних– це коло, сферу
Функції множини зміннихпри
Функції множини зміннихіноді називають гіперсферою. Обсяг сфери
Функції множини змінних(довжина при
Функції множини змінних, поверхня при
Функції множини змінних) обчислюється за формулою

Функції множини змінних,

зокрема,

Функції множини змінних,
Функції множини змінних,
Функції множини змінних,
Функції множини змінних.

Рівняння сфери
Функції множини змінниху декартових прямокутних координатах
Функції множини зміннихмає вид

Функції множини змінних

(тут
Функції множини змінних,
Функції множини змінних,
Функції множини змінних, – координати
Функції множини змінних,
Функції множини зміннихвідповідно), тобто Сфера — (гіпер)квадрика, або поверхня другого порядку спеціального виду.

Положення будь-якої точки у просторі щодо сфери характеризується ступенем точки. Сукупність всіх сфер, щодо яких ця точка має однакову міру, становить мережу сфери. Сукупність всіх сфер, щодо яких точки деякої прямої (радикальної осі) мають однакову міру (різну для різних точок), становить пучок сфери.

4. Деякі властивості сфери
Функції множини змінних

З погляду диференціальної геометрії, сфера
Функції множини змінних— рімановий простір, що має постійну (гаусову при
Функції множини зміннихі ріманову при
Функції множини змінних) кривизну
Функції множини змінних. Усі геодезичні лінії сфери замкнуті та мають постійну довжину
Функції множини змінних— це так звані великі кола, тобто перетину з
Функції множини зміннихдвомірних площин в
Функції множини змінних, що проходять через її центр. Зовнішньогеометричні властивості
Функції множини змінних: всі нормалі перетинаються в одній точці, кривизна будь-якого нормального перерізу одна і та ж і не залежить від точки, в якій воно розглядається, зокрема має постійну середню кривизну, причому повна середня кривизна сфери – найменша серед опуклих поверхонь однакової площі, всі точки сфери омбілічні.

Деякі з таких властивостей, прийняті за основні, стали відправною точкою для узагальнення поняття сфери. Так, наприклад, афінна сфера визначається тим, що всі її (афінні) нормалі перетинаються в одній точці; псевдосфера – поверхня в
Функції множини зміннихпостійної гаусової кривизни (але вже негативної); одна з інтерпретацій орисфери (граничної сфери) – безліч точок усередині
Функції множини змінних, що визначається рівнянням також другого порядку

Функції множини змінних.

На сферу
Функції множини зміннихдвічі транзитивно діє ортогональна група
Функції множини зміннихпростору
Функції множини змінних(2 – транзитивність означає, що з будь-яких двох пар точок, з рівними відстанями, існує обертання – елемент
Функції множини змінних, Що переводить одну пару в іншу); нарешті, сфера є однорідним простором:
Функції множини змінних.

З погляду (диференціальної) топології, сфера
Функції множини змінних– замкнуте диференційоване різноманіття, що розділяє
Функції множини зміннихна дві області та є їх спільним кордоном; при цьому обмежена область, гомеоморфна
Функції множини змінних– це (відкритий) куля, отже сферу можна визначити як її межу.

Групи гомологій сфери
Функції множини змінних,
Функції множини змінних:

Функції множини змінних

зокрема
Функції множини зміннихне стягується в точку сама по собі, тобто тотожне відображення
Функції множини змінниху собі суттєво.

Групи гомотет сфери
Функції множини змінних,
Функції множини змінних:

Функції множини змінних

Наприклад,
Функції множини змінних,
Функції множини зміннихпри
Функції множини змінних. У загальному випадку – для будь-яких
Функції множини зміннихі
Функції множини змінних,
Функції множини змінних, групи
Функції множини зміннихне обчислені.

І тут поняття «сфера» отримує узагальнення. Наприклад, дика сфера – топологічна сфера
Функції множини змінних, що не обмежує області, гомеоморфної
Функції множини змінних; Мілнора сфера (екзотична сфера) – різноманіття, гомеоморфне, але не диффеоморфне
Функції множини змінних.

Топологічний простір, гомеоморфний сфері, називається топологічною сферою. Одним із основних тут є питання про умови того, що деякий простір є топологічною сферою.

приклади.

а) Інваріантна топологічна характеристика сфери
Функції множини зміннихпри
Функції множини зміннихне відома. Про випадок
Функції множини зміннихдив. Одновимірне різноманіття. Для того, щоб континуум був гомеоморфен сфері
Функції множини змінних, необхідно і достатньо, щоб він був локально пов’язаний, містив хоча б одну просту замкнуту лінію і щоб будь-яка така лінія, що лежить на ньому, розбивала його на дві області, що мають цю лінію своїм загальним кордоном (теорема Уайлдера).

б) Повне однозв’язне ріманове простір розмірності
Функції множини зміннихкривизна
Функції множини зміннихякого для всіх дотичних двомірних площин
Функції множини зміннихФункції множини змінних– обмежена
Функції множини змінних, тобто.
Функції множини зміннихгомеоморфно
Функції множини змінних(Теорема про сферу).

в) Однозв’язне замкнене гладке різноманіття, (цілі) гомології якого збігаються з гомологіями
Функції множини зміннихпри
Функції множини змінних(при
Функції множини змінних— Невідомо). Якщо
Функції множини змінних, то воно також і гомеоморфне
Функції множини змінних, при
Функції множини зміннихгіпотеза залишається, при
Функції множини зміннихдиффеоморфізм немає місця.

Абсолютно аналогічно визначається сфера
Функції множини змінниху метричному просторі
Функції множини змінних. Однак ця множина, взагалі кажучи, може бути влаштована досить складно (або може бути порожньою).

У нормованому просторі
Функції множини зміннихз нормою
Функції множини зміннихсферою називається безліч
Функції множини змінних: це, по суті, довільна, взагалі кажучи, нескінченномірна опукла (гіпер)поверхня, яка не завжди володіє, наприклад, гладкістю, округлістю тощо корисними властивостями звичайної сфери. Один з варіантів, що застосовуються в топології, — тек звана нескінченномірна сфера — строга індуктивна межа
Функції множини зміннихпослідовності вкладених сфер:

Функції множини змінних

інше визначення:
Функції множини змінних, де
Функції множини змінних— Безкінемірне різноманіття Штифеля. Для будь-кого
Функції множини зміннихвиявляється, що
Функції множини змінних.

Програми поняття сфера надзвичайно різноманітні. Наприклад, сфери беруть участь у конструкціях нових просторів або додаткових структур на них. Так, наприклад, проектні простори
Функції множини зміннихФункції множини зміннихможна інтерпретувати як сферу
Функції множини зміннихз ототожненими діаметрально протилежними точками; сфера з ручками та дірками використовуються в теорії ручок.

Список використаних джерел

  1. Буземан Р., Геометрія геодезичних. — М., 1962.
  2. Зорич В. А. Математичний аналіз. Ч.1. — М: Наука, Головна редакція фізико-математичної літератури, 1981.
  3. Розенфельд Б. А., багатовимірні простори. М., 1966.
  4. Розенфельд Б. А., Неевклідові простори. М., 1969.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *