Функції множини змінних

Зміст реферату

Вступ

1. Безліч
та відстань у ньому.

2. Відкриті та замкнуті множини в

3. Сфера

4. Деякі властивості сфери

Список використаних джерел

Вступ

Багато величин, що представляють інтерес, залежать не від одного, а від дуже багатьох факторів, і якщо сама величина і кожен із визначальних його факторів можуть бути охарактеризовані деяким числом, то зазначена залежність зводиться до того, що впорядкований набір
чисел, кожне з яких описує стан відповідного фактора, стає у відповідність значення досліджуваної величини, яке вона набуває при цьому стані визначальних величину факторів.

Наприклад, площа прямокутника є добутком довжин його сторін; обсяг даної кількості газу обчислюється за формулою

,

де
— Постійна,
— Маса,
— Абсолютна температура і
— Тиск газу. Таким чином, значення
залежить від змінної впорядкованої трійки чисел
або, як кажуть
є функція трьох змінних
.

Ми ставимо собі за мету навчитися досліджувати функції багатьох змінних так само, як ми навчилися досліджувати функції одного змінного.

Як і у випадку функції одного змінного, вивчення функції багатьох числових змінних починається з опису їхньої області визначення.

1. Безліч
та відстань у ньому.

Умовимося через
позначати безліч усіх упорядкованих наборів
, що складаються з
дійсних чисел
.

Кожен такий набір позначатимемо однією літерою
і відповідно до зручної геометричної термінології називати точкою множини
.

Число
у наборі
називають
-й координатою точки
.

Геометричні аналогії можна продовжити і ввести на безлічі
відстань між точками
,
за формулою

(1)

Функція

,

визначається формулою (1), очевидно, має наступні властивості:

;

;

;

Остання нерівність (звана знов-таки за геометричною аналогією нерівністю трикутника) є окремим випадком нерівності Мінковського.

Функцію, визначену на парах
точок деякої множини
і володіє властивостями a), b), c), d), називають метрикою або відстанню в
.

Безліч
разом із фіксованою у ньому метрикою називають метричним простором.

Таким чином, ми перетворили
у метричний простір, наділивши
метрикою, заданою співвідношенням (1).

З співвідношення (1) випливає, що за

(2)

тобто відстань між точками
мало в тому і лише в тому випадку, коли мало відрізняються відповідні координати цих точок.

З (2), як і з (1), видно, що при
безліч
збігається з безліччю дійсних чисел, відстань між точками якого вимірюється стандартним чином за допомогою модуля різниці чисел.

2. Відкриті та замкнуті множини в

Визначення 1. При
безліч

називається кулею з центром
радіусу
або також
-навколо точки
.

Визначення 2. Безліч
називається відкритим у
якщо для будь-якої точки
знайдеться куля
такий, що
.

приклад 1.
— Відкрите безліч в
.

приклад 2.
— Порожня безліч — взагалі не містить точок і тому може вважатися таким, що задовольняє визначенню 2, тобто.
— Відкрите безліч в
.

Приклад 3. Куля
— Відкрите безліч в
.

Справді, якщо
, тобто.
, то при
буде
, оскільки

.

Приклад 4. Безліч
, Т. е. сукупність точок, віддалених від фіксованої точки
на відстань більше ніж
є відкритим, що, як і прикладі 3, легко перевірити, використовуючи нерівність трикутника для метрики.

Визначення 3. Безліч
називається замкнутим у
, якщо його доповнення
в
є безліччю, відкритим в
.

Приклад 5. Безліч
, Т. е. сукупність точок, віддалених від фіксованої точки
не більше ніж на
, є замкнутим, що випливає з визначення 3 і 4 прикладу.
називають замкнутою кулею з центром
радіусу
.

3. Сфера

Сфера – безліч
точок
евклідова простору
, що знаходяться від деякої точки
(центр сфери) на постійній відстані
(Радіус сфери), тобто.

.

Сфера
— пара точок, сфера
– це коло, сферу
при
іноді називають гіперсферою. Обсяг сфери
(довжина при
, поверхня при
) обчислюється за формулою

,

зокрема,

,
,
,
.

Рівняння сфери
у декартових прямокутних координатах
має вид

(тут
,
,
, – координати
,
відповідно), тобто Сфера — (гіпер)квадрика, або поверхня другого порядку спеціального виду.

Положення будь-якої точки у просторі щодо сфери характеризується ступенем точки. Сукупність всіх сфер, щодо яких ця точка має однакову міру, становить мережу сфери. Сукупність всіх сфер, щодо яких точки деякої прямої (радикальної осі) мають однакову міру (різну для різних точок), становить пучок сфери.

4. Деякі властивості сфери

З погляду диференціальної геометрії, сфера
— рімановий простір, що має постійну (гаусову при
і ріманову при
) кривизну
. Усі геодезичні лінії сфери замкнуті та мають постійну довжину
— це так звані великі кола, тобто перетину з
двомірних площин в
, що проходять через її центр. Зовнішньогеометричні властивості
: всі нормалі перетинаються в одній точці, кривизна будь-якого нормального перерізу одна і та ж і не залежить від точки, в якій воно розглядається, зокрема має постійну середню кривизну, причому повна середня кривизна сфери – найменша серед опуклих поверхонь однакової площі, всі точки сфери омбілічні.

Деякі з таких властивостей, прийняті за основні, стали відправною точкою для узагальнення поняття сфери. Так, наприклад, афінна сфера визначається тим, що всі її (афінні) нормалі перетинаються в одній точці; псевдосфера – поверхня в
постійної гаусової кривизни (але вже негативної); одна з інтерпретацій орисфери (граничної сфери) – безліч точок усередині
, що визначається рівнянням також другого порядку

.

На сферу
двічі транзитивно діє ортогональна група
простору
(2 – транзитивність означає, що з будь-яких двох пар точок, з рівними відстанями, існує обертання – елемент
, Що переводить одну пару в іншу); нарешті, сфера є однорідним простором:
.

З погляду (диференціальної) топології, сфера
– замкнуте диференційоване різноманіття, що розділяє
на дві області та є їх спільним кордоном; при цьому обмежена область, гомеоморфна
– це (відкритий) куля, отже сферу можна визначити як її межу.

Групи гомологій сфери
,
:

зокрема
не стягується в точку сама по собі, тобто тотожне відображення
у собі суттєво.

Групи гомотет сфери
,
:

Наприклад,
,
при
. У загальному випадку – для будь-яких
і
,
, групи
не обчислені.

І тут поняття «сфера» отримує узагальнення. Наприклад, дика сфера – топологічна сфера
, що не обмежує області, гомеоморфної
; Мілнора сфера (екзотична сфера) – різноманіття, гомеоморфне, але не диффеоморфне
.

Топологічний простір, гомеоморфний сфері, називається топологічною сферою. Одним із основних тут є питання про умови того, що деякий простір є топологічною сферою.

приклади.

а) Інваріантна топологічна характеристика сфери
при
не відома. Про випадок
див. Одновимірне різноманіття. Для того, щоб континуум був гомеоморфен сфері
, необхідно і достатньо, щоб він був локально пов’язаний, містив хоча б одну просту замкнуту лінію і щоб будь-яка така лінія, що лежить на ньому, розбивала його на дві області, що мають цю лінію своїм загальним кордоном (теорема Уайлдера).

б) Повне однозв’язне ріманове простір розмірності
кривизна
якого для всіх дотичних двомірних площин
– обмежена
, тобто.
гомеоморфно
(Теорема про сферу).

в) Однозв’язне замкнене гладке різноманіття, (цілі) гомології якого збігаються з гомологіями
при
(при
— Невідомо). Якщо
, то воно також і гомеоморфне
, при
гіпотеза залишається, при
диффеоморфізм немає місця.

Абсолютно аналогічно визначається сфера
у метричному просторі
. Однак ця множина, взагалі кажучи, може бути влаштована досить складно (або може бути порожньою).

У нормованому просторі
з нормою
сферою називається безліч
: це, по суті, довільна, взагалі кажучи, нескінченномірна опукла (гіпер)поверхня, яка не завжди володіє, наприклад, гладкістю, округлістю тощо корисними властивостями звичайної сфери. Один з варіантів, що застосовуються в топології, — тек звана нескінченномірна сфера — строга індуктивна межа
послідовності вкладених сфер:

інше визначення:
, де
— Безкінемірне різноманіття Штифеля. Для будь-кого
виявляється, що
.

Програми поняття сфера надзвичайно різноманітні. Наприклад, сфери беруть участь у конструкціях нових просторів або додаткових структур на них. Так, наприклад, проектні простори
можна інтерпретувати як сферу
з ототожненими діаметрально протилежними точками; сфера з ручками та дірками використовуються в теорії ручок.

Список використаних джерел

1. Буземан Р., Геометрія геодезичних. — М., 1962.
2. Зорич В. А. Математичний аналіз. Ч.1. — М: Наука, Головна редакція фізико-математичної літератури, 1981.
3. Розенфельд Б. А., багатовимірні простори. М., 1966.
4. Розенфельд Б. А., Неевклідові простори. М., 1969.

© Реферат плюс