Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Евклід: життя і твори


Евклід: життя і твори

Завантажити реферат: Евклід: життя та твори

Запитайте свого колегу, чи знайомого, чи учня: “Яка стародавня книга справила найбільший вплив на розвиток європейської цивілізації?”. Не думаю, що відповіді відрізнятимуться великою різноманітністю, але навряд чи хтось згадає про “Початки” Евкліда. Адже саме за цією книгою (або її обробками) навчалися всі творці сучасної математики: Декарт і Ферма, Ньютон і Лейбніц, Колмогоров і Понтрягін… Усіх не перелічиш

Не можна сказати, що багато століть не з’являлися інші склепіння математичних знань, але вони забувалися і знову витіснялися “Початками” Евклида. З 1482 р. вона видавалася понад 500 разів різними мовами

Можна з упевненістю стверджувати, що це сучасні звані точні науки виросли з давньогрецької науки, тобто. з «Початках» Евкліда — найдавнішого зводу математичних знань, що дійшов до нашого часу

То хто ж був Евклід? Дослідник, енциклопедист, методист? На жаль, про життя цього знаменитого вченого збереглося мало відомостей. Роки його життя відносять до часу приблизно між 365 і 300 гг. до н.е

Відомо, що Евклід був запрошений до Олександрії царем Птолемеєм I Сотером для організації математичної школи та викладав там математику. Відомо, що він навчався у платонівській Академії в Афінах

Які ж праці Евкліда нам відомі?

Крім «Початок» до нас дійшли, хоча і в сильно спотвореному вигляді, трактати «Оптика» та «Катоптріка». В “Оптиці” Евклід формулює і доводить правило “кут падіння дорівнює куту віддзеркалення”, а “Катоптриці” він виводить, спираючись цього правило, закони відбивання від опуклих і увігнутих дзеркал. У цих трактатах міститься перший історії виклад геометричної оптики. Крім того, Евкліду належить твір з математичної астрономії «Явлення», йому також приписується твір «Сечение канону» з теорії музики

У всіх цих творах Евклід спочатку постулює деякі властивості досліджуваних об’єктів (наприклад, те, що світло поширюється по прямій) і необхідні математичні відомості, а потім на цій основі дедуктивно будує теорію, що викладається.

Евкліду належать твори про конічні перерізи (тобто еліпса, гіпербола, парабола) і “Про поверхневі місця”, які до нас дійшли

В арабському перекладі нам відомий твір Евкліда «Про поділ фігур»

Але головним працею Евкліда, безсумнівно, є “Початки” ( 13 книгах ). Він зібрав та систематизував сучасну йому математику, суворо дедуктивно виклавши її в цій об’ємній праці

Нижче описані найцікавіші, з погляду сучасної математики, досягнення Евкліда та її попередників, викладені у “Початках”

Теорема Евкліда

Пропозиція, про яку йдеться, викладено в ІХ книзі «Початок». Воно формулюється так:

безліч простих чисел нескінченно

Доказ дуже просто: якби безліч всіх простих чисел було кінцевим, то, перемноживши їх усі і додавши одиницю, ми отримали б нове число, яке не ділиться на жодне з відомих простих чисел і, отже, просте

Алгоритм Евкліда

Всім відомий алгоритм Евкліда знаходження загальної міри відрізків. Він полягає в наступному

Нехай є два відрізки нерівної довжини A і В, причому, наприклад, А більше В. Відкладемо відрізок на відрізку А стільки разів, скільки вийде ( мал. 1 )

Тоді А = n 0 B + C 1 де C 1 < В

Тепер беремо відрізки В і C 1 і повторюємо з ними ту саму операцію: В = n 1 C 1 + C 2 де C 2 < C 1 ( мал. 2 )

Повторюючи цю операцію багато разів, ми або колись отримаємо нульовий відрізок-залишок C m = n m+1 C m+1 + 0 відрізок C m+1 виявиться загальним заходом відрізків А і В, або процес відкладання відрізків ніколи не закінчиться

В останньому випадку кажуть, що відрізки А і В непорівнянні (тобто не мають загального заходу). Числа n 0 , n 1 , … називаються «неповними приватними»

Якщо виявлено загальний захід величин А і В і він дорівнює деякій величині D, то А = λD , B = μ D і відношення А і є відношення λ до μ

Цікаво, що Евклід побудував алгоритм окремо для чисел (тобто натуральних чисел) та окремо для відрізків (величин)

Отже, алгоритм Евкліда дозволяє як знаходити загальну міру ( НОД ) двох чисел, скорочувати на НОД дроби, а й “округляти” раціональні числа

Теорія відносин Євдокса

У “Початках” викладено іншу теорію відносин, створену Евдоксом. Вона відповідала на запитання: як можна порівнювати стосунки чисел і що відбувається з ними внаслідок арифметичних операцій?

Два відносини a/b і c/d вважаються рівними, якщо будь-яких натуральних чисел М, N виконуються умови:

aM > bN cM > dN,

aM = bN cM = dN,

aM < bN cM < dN

Такий підхід до порівняння відносин був революційним проривом у побудові теорії дійсного числа ( поки що тільки для раціональних позитивних чисел )

Теорія ірраціональностей

Мабуть, саме алгоритм Евкліда привів піфагорійця до встановлення несумірності боку та діагоналі квадрата (тобто ірраціональності числа √2). Це відкриття суттєво вплинуло на подальший розвиток і математики та філософії. Воно показало, що закладено основний принцип піфагорійців «все є число». Вони вважали, що будь-яку величину можна виразити числом ( натуральним ) або ставленням чисел, але виявилося, що діагональ квадрата зі стороною 1 не виражалася відношенням чисел

Теетет Афінський розвинув цей підхід і довів, що квадратне коріння з квадратних чисел раціональне, а з неквадратного – ірраціональне. Крім того, кубічні корені з кубічних чисел раціональні, а з некубічних – ірраціональні.

Більш того, він класифікував деякі типи ірраціональностей, які можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки

Геометрична алгебра

Важливим досягненням античної математики стало створення так званої геометричної алгебри, зачатки якої були ще у вавилонян

Ми знаємо, що у Стародавній Греції не було можливості записувати буквами алгебраїчні формули та рівняння. Крім того, великі проблеми виникали під час операцій з натуральними числами. Античні математики обійшли цю проблему, переклавши всі алгебраїчні вирази першого і другого ступеня геометричною мовою. Усі побудови були планиметричними

Мабуть, саме алгебраїчними потребами пояснюється бурхливий розвиток планиметрії в античності.

Платонові тіла

В останній, XIII книзі «Початок» описуються побудова та властивості правильних багатогранників — тетраедра, гексаедра, октаедра, додекаедра, ікосаедра

І Евклід непросто описав правильні багатогранники, а й досліджував їх властивості. Він знайшов відношення довжин ребер всіх правильних багатогранників до діаметра описаної біля багатогранника сфери

Понад те, він запропонував способи побудови правильних багатогранників, вписаних у сферу даного діаметра

Вчення про гармонію

Ще піфагорійці знали, що й висоти звуку ставляться як невеликі цілі числа, поєднання звуків буде приємним, гармонійним. Так, відношення висот 1:2 дає музичний інтервал, званий октавою, відношення 2:3 – дає квінту, 3:4 кварту. Для того щоб підвищити на квінту звук, наприклад, струни, що коливається, треба зменшити її довжину на 1/3, змусивши звучати решту 2/3 струни, при цьому частота коливань струни збільшиться в 1/(2/3) рази. А підвищення звуку на кварту треба витягти звук з 3/4 струни, тобто. частота коливань буде в 4/3 рази вище за частоту коливань основного тону. Виходячи з цього, можна побудувати музичну шкалу

Першим точним розрахунком музичної шкали став Архіт Тарентський. Евклід продовжив його традицію і виклав вчення про гармонію в “Перерізі канону” і – частково – у “Початках”

Список використаної літератури

  1. Науково-теоретичний та методичний журнал “Математика у школі” №4 2001. Видавництво “Школа-Прес”

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *