Еліптичне дзеркало.  Уточнене формулювання принципу Ферма
Химия

Еліптичне дзеркало. Уточнене формулювання принципу Ферма


Лекція 5

4.4. Еліптичне дзеркало.

Уточнене формулювання принципу Ферма

clip_image001

AB

clip_image002

Еліпс є геометричним місцем точок, сума відстаней від яких до деяких двох точок (фокусів еліпса) постійна. Завдяки цьому дзеркало, переріз якого є еліпс, виявляється винятково цікавим. При відображенні від такого дзеркала кожен промінь, що вийшов із фокусу A після відображення потрапляє у фокус B.

Ми розглядали свій відбиток від плоского дзеркала, тоді шлях поширення був мінімальним. У разі еліптичного дзеркала всі шляхи поширення світла однакові. Як і у випадку плоского дзеркала, відбита хвиля являє собою результат випромінювання електронів, що коливаються, коливання яких викликала падаюча хвиля Будемо вважати, що джерело хвиль, випромінювач знаходиться в точці A. Але тепер викликані рухом різних електронів електромагнітні коливання у точці B відбуватимуться з однаковими фазами. Векторна діаграма виглядатиме інакше – окремі вектори. не будуть повернені один по відношенню до іншого, лежатимуть на одній прямій.

clip_image003

AB

З

Звичайно, при такому відображенні для кожного променя буде справедливий закон відображення.

Якщо кривизна дзеркала в точці відображення буде більшою за кривизну еліптичного дзеркала, довжина шляху поширення (довжина ламаної ACB) буде не мінімальною, а максимальною. Але відображення у точці C відбуватиметься так само, як від еліптичного дзеркала. Це змушує нас уточнити формулювання принципу Ферма: на шляху поширення світла визначальною виявляється не мінімальність, а екстремальність цього шляху. Або довжина шляху не повинна змінюватися при зміщенні точки відображення.

У цьому можна провести такі доказові міркування.

clip_image004

B”

AB

З B’

Промінь CB проходить також через точки B’ і B”. І якщо довжини різних променів, що приходять з точки A в ціль B однакові, такого твердження не можна зробити для точок B’ і B”. Відповідно, і векторні діаграми для складання коливань від окремих електронів у цих точках виглядатимуть інакше – ці вектори не вибудовуватимуться по одній прямій, скручуватимуться в “клубки”. Спробуйте самостійно розібратися, яка з наведених малюнку діаграм належить до точки B’, а яка до точки B”.

clip_image005
clip_image006

Якщо Вам зрозумілий сенс векторних діаграм, Ви зрозумієте і те, що така відмінність їхнього виду означає дуже істотну відмінність амплітуд коливань у точці B (амплітуда велика) та точках B’ і B” з іншого боку. Кажуть, що світло «фокусується» у точці B, у цій точці знаходиться зображення джерела світла A.

4.5. Сферичне дзеркало

clip_image007AB

R

C F

2q R/2

DO

Властивістю сферичного дзеркала є те, що після відбиття від нього промені збираються в деякій точці, яка називається фокусом дзеркала.

clip_image009

Розглянемо падіння плоскої хвилі на сферичне дзеркало радіусу R. При цьому ми обмежимося розглядом відображення параксіальних променів, відстань яких від оптичної осі на малу відстань, що дорівнює довжині відрізка AB << R. У цьому наближенні кут падіння q можна вважати малим.

Після відображення промінь перетне оптичну вісь у певній точці F. При малих q будуть справедливі вирази:

clip_image011; clip_image013,

з яких випливає, що фокусна відстань дзеркала OF дорівнює половині радіусу.

Власне, ми вирішили завдання про сферичне дзеркало. Але найважливішим завданням нам є детальне знайомство з процесами випромінювання, поширення хвиль. Тому поговоримо про процес фокусування докладніше.

Раніше ми отримали зв’язок між характером зміни фази коливань безперервно розташованих точкових джерел при переході від точки до точки та напрямом випромінювання q:

clip_image036.

При малих значеннях q буде:

clip_image038.

C

R

clip_image039

a q

O

Застосуємо цей вислів щодо відображення плоскої хвилі від сферичного дзеркала. Позначимо цього разу кут падіння через a і замість диференціювання з y нам потрібно буде провести диференціювання фази на відстані x(a) від точки O.

clip_image009[1]

Чому при переході від точки до точки вздовж поверхні дзеркала змінюється фаза викликаних хвилею коливань електронів? Видно, що далі точка падіння від центру дзеркала, тим менший шлях променя, що потрапляє в цю точку. Якщо різниця ходу дорівнює DL, то для підрахунку різниці фаз необхідно розділити цю величину на l і помножити на 2p. Таким чином (за модулем),

clip_image041; clip_image043.

Тепер ми можемо знайти залежність кута напряму випромінювання (стосовно нормалі, радіусу) від кута a:

clip_image045; clip_image047.

Ми не отримали нового результату. Як і має бути, в чому ми ще раз переконалися, кут відображення q дорівнює куту падіння a. Але для нас важливо, що цей результат для відображення від сферичного дзеркала може бути отриманий і за допомогою аналізу залежності фази коливань електронів, що випромінюють вторинну, відбиту хвилю. x – відстані від точки падіння променя до оптичної осі OC.

4.6. Параболічне дзеркало

При відображенні від сферичного дзеркала відбувається фокусування лише параксіальних променів. Спробуємо тепер знайти такий переріз дзеркала, щоб у його фокусі збиралися всі промені, незалежно від відстані до оптичної осі.

clip_image049

clip_image050 У

F

f

y

x 0 X

Для визначення виду перерізу дзеркала скористаємося принципами ферми.

Нехай відповідна крива описується функцією y(x)координати точки падіння x і y. Позначимо буквою F фокус дзеркала, його координата (фокусна відстань) — f.

Від точки падіння промінь пройде до фокусу відстань

clip_image052.

Щоб у всіх паралельних променів була однакова довжина шляху, необхідно, щоб виконувалася умова

clip_image054

після перетину з горизонтальної пунктирної лінії до фокусу промінь, що збігається з оптичною віссю, пройде спочатку шлях y до точки відображення і потім – f у зворотньому напрямку. Цей шлях повинен дорівнювати LТільки в цьому випадку всі промені зберуться у фокусі дзеркала.

Таким чином, ми отримуємо:

clip_image056;

clip_image058;

clip_image060.

Це парабола і, отже, необхідною нам властивістю має параболічне дзеркало.

4.7. Закон заломлення світла

4.7.1. Швидкість світла у речовині

Ми з Вами переконалися свого часу, що з рівнянь Максвелла випливає хвильове рівняння. Електромагнітні хвилі з довжиною хвилі приблизно в межах 0,4 ¸ 0,7 мкм, сприймаються оком, називають світлом. І серед багатьох речовин є такі, в яких світло може поширюватися без помітного зменшення амплітуди електромагнітних коливань, прозорі речовини. Однак, швидкість світла в речовині відрізняється від швидкості світла у вакуумі, вираз для якої clip_image062 ми свого часу отримали. Повторимо тепер проведені раніше перетворення рівнянь Максвелла, але тепер для вакууму, а деякого речовини.

Випишемо рівняння Максвелла для відсутності вільних зарядів та струмів провідності:

clip_image064

Ми також використовуватимемо вирази

clip_image066,

вважаючи речовину однорідною.

Як і раніше, обмежимося випадком плоскої хвилі, коли електричне та магнітне поля залежать від однієї координати – від координати x, тобто. у наступних виразах з похідних по координатах відмінні від нуля тільки похідні по x:

clip_image068.

Як видно з цього рівняння, clip_image070. Це означає, що x — Складова магнітного поля не залежить від часу. Покладемо її рівною нулю, оскільки стаціонарне поле (магнітне як і електричне) до поширення хвилі не має відношення.

Далі, вектор clip_image072 має деякий напрямок, і якщо ми вздовж цього напрямку направимо вісь 0Z, то буде clip_image074 і, отже, clip_image076 (Див. рівняння). Таким чином,

clip_image078.

clip_image080clip_image080

clip_image082

clip_image082 clip_image084clip_image084

clip_image086clip_image086

. (**) Продиференціюємо рівнянняза координатою

, А рівняння (**) за часом:clip_image088

clip_image088

Тодіclip_image090

clip_image090 Ми отримали хвильове рівняння і швидкість поширення світла в речовиніclip_image092 clip_image092 . При поширенні світлової хвилі з великим ступенем точності можна вважатиm , і швидкість світла у речовиніclip_image094 clip_image094 . Таким чином, для знаходження значення швидкості vнеобхідно знати значення діелектричної проникності

e . Зауважимо, що у великих частотах, притаманних світлової хвилі, значення eістотно відрізняється від стаціонарного, яке входить до рівнянь електростатики, і – залежить від частоти. Відповідно, від частоти залежить і (фазова) швидкість поширення світлової хвилі у речовині. У такому разі кажуть, що речовина має

дисперсією Найістотнішим, що відбувається при взаємодії поля[1] clip_image072

з речовиною, це “рух” електронів, поляризація молекул.  При цьому поляризованість виявляється пропорційною до поля, що свідчить про квазіпружний характер діючих на електрон “повертаючих” сил.  Тому при взаємодії електронів зі світловою хвилею буде:clip_image096

clip_image096 Цьому рівнянню задовольняє рішення видуclip_image098 clip_image098 . Підставивши

на рівняння, отримаємо:clip_image100 ;clip_image102

clip_image102 . Отже, при змішуванні під дією електричного поля хвилі на електрон утворюється диполь з моментом p = ex. Позначивши через концентрацію електронів, ми отримаємо такі висловлювання для поляризованостіclip_image104 clip_image104 для поляризованості речовини kта діелектричної проникності

:clip_image106

;clip_image108 ;clip_image110

clip_image110 . Залежно від співвідношення між wі w 0 і від величини N величина

більше чи менше одиниці і навіть негативної.  Відповідно ми повинні сказати, що швидкість світла у речовині

clip_image112

clip_image112 буде або менше швидкості світла у вакуумі, або більше за неї, або уявної. Ці можливості нам потрібно буде обговорити докладніше. А поки що зробимо одне уточнення.В якійсь конкретній речовині електрони, що входять до атомів, можуть мати різні частоти вільних коливаньw 0k, різними можуть бути і їх концентраціїN k. Всі вони будуть робити свій внесок у поляризованість речовини і, відповідно, у величину

.  тому у загальному випадку вираз швидкості хвилі запишеться якclip_image114

clip_image114 . Таким виходить вираз для

фазовий

швидкості хвилі у речовині.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *