Елементарні конфортні відображення
Химия

Елементарні конфортні відображення


ОЛЕЦЬ

ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ ІНСТИТУТ.

КУРСОВА РОБОТА

З МАТЕМАТИЧНОГО АНАЛІЗУ

Тема: «Елементарні конфортні відображення»

Виконала: студентка гурту М-31

фізико-математичного факультету

Є.Г. Петренко

Науковий керівник:

О.О. Савіна

1998 р.

ЕЛЕМЕНТАРНІ ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ

Коротка довідка. Нехай є дві множини комплексних точок clip_image002і clip_image004. Якщо заданий закон clip_image006, що ставить у відповідність кожному clip_image008 точку (або крапки) clip_image010, то кажуть, що на безлічі clip_image012задана функція комплексної змінної зі значеннями у множині clip_image014. Позначають це так: clip_image016. (Часто кажуть також, що clip_image006[1]відображає безліч clip_image012[1]у безліч clip_image014[1].)

Завдання функції clip_image017 еквівалентне завданню двох дійсних функцій clip_image019 і тоді clip_image021 , де clip_image023, clip_image025. Як і звичайному аналізі, теоретично функцій комплексної змінної дуже значної ролі грають елементарні функції. Розглянемо деякі з них.

1. clip_image027 clip_image029 — Лінійна функція. Визначено при всіх clip_image031. Відображає повну комплексну площину clip_image031[1]на повну комплексну площину clip_image033 . Функція clip_image035і зворотна їй clip_image037— Однозначні. Функція clip_image035[1]повертає площину clip_image031[2]на кут, рівний clip_image039, розтягує (стискає) її в clip_image041 раз і після цього здійснює паралельне зрушення на величину clip_image043. Безперервна по всій комплексній площині.

2. clip_image045. Визначено на всій комплексній площині, причому clip_image047, clip_image049. Однозначна, безперервна всюди, крім точки clip_image051. Відображає повну комплексну площину clip_image031[3]на повну комплексну площину clip_image033[1], причому точки, що лежать на одиничному колі, переходять у точки цього ж кола. Точки, що лежать усередині кола одиничного радіусу, переходять у точки, що лежать поза нею, і навпаки.

3. clip_image053 — Показова функція. За визначенням clip_image055, тобто. clip_image057, clip_image059, clip_image061. З визначення випливають формули Ейлера:

clip_image063 ; clip_image065; clip_image067;

Визначена на всій комплексній площині та безперервна на ній. clip_image069періодична з періодом clip_image071. Відображає кожну смугу, паралельну осі clip_image073, шириною clip_image075 clip_image077у площині clip_image031[4]у повну комплексну площину clip_image033[2]. З властивостей clip_image069[1]відзначимо найпростіші: clip_image079 , clip_image081

4. clip_image083— логарифмічна функція (натуральний логарифм). За визначенням: clip_image085. clip_image087Вираз clip_image089 називається головним значенням clip_image091, так що clip_image093. Визначено для всіх комплексних чисел, крім clip_image094. clip_image095 — нескінченно-значна функція, зворотна до clip_image069[2]. clip_image098, clip_image100

5. clip_image102 clip_image103— загальна показова функція. За визначенням, clip_image105. Визначено для всіх clip_image031[5], її головне значення clip_image107, нескінченно-значна.

6. Тригонометричні функції clip_image109;clip_image111;clip_image113;clip_image115 За визначенням, clip_image117; clip_image119;

clip_image121 ; clip_image123

7. Гіперболічні функції. Визначаються за аналогією з такими ж функціями дійсної змінної, а саме:

clip_image125 , clip_image127

Визначені та безперервні на всій комплексній площині.

Завдання із рішенням.

1) Знайти модулі та основні значення аргументів комплексних чисел: clip_image129, clip_image131, clip_image133, clip_image135,

Рішення. За визначенням, clip_image137,clip_image139, clip_image141; якщо clip_image143, то очевидно, clip_image145, clip_image147,

clip_image149, clip_image151, clip_image153

clip_image155, clip_image157, clip_image159, clip_image161

clip_image163, clip_image165, clip_image167, clip_image169

Знайти суми:

1) clip_image171

2) clip_image173

Рішення. Нехай: clip_image175, а

clip_image177. Помножимо другий рядок на clip_image179, Складемо з першої і, скориставшись формулою Ейлера, отримаємо: clip_image181

clip_image183; Перетворюючи, отримаємо:

clip_image185, clip_image187

3. Довести, Що: 1) clip_image189 2)clip_image191

3)clip_image193 4)clip_image195

Доказ:

1) За визначенням, clip_image197

2) clip_image199

3) clip_image201 ; clip_image203

Виразити через тригонометричні та гіперболічні функції дійсного аргументу дійсні та уявні частини, а також модулі наступних функцій: 1) clip_image205; 2) clip_image207; 3) clip_image209;

Рішення: clip_image211 і, враховуючи результати попереднього прикладу, отримаємо:

clip_image213, clip_image215, clip_image217,

clip_image219

Нагадаємо, що clip_image221

2) clip_image223

clip_image225, clip_image227,

clip_image229

3) clip_image231

clip_image233 , clip_image235 ,

clip_image237 , clip_image239 .

Знайти дійсні та уявні частини наступних значень функцій: clip_image241 ; clip_image243 ; clip_image245

Рішення. Наслідуючи рішення прикладу 4, матимемо:

clip_image247 ; clip_image249 ; clip_image251 ; clip_image253;

clip_image255 ; clip_image257

Обчислити: 1) clip_image259; 3) clip_image261 ; 5) clip_image263;

2) clip_image265; 4) clip_image267 ; 6) clip_image269 ;

Рішення. За визначенням, clip_image271, clip_image273

1)clip_image275, clip_image277, clip_image279,

clip_image281

2) clip_image283, clip_image285, clip_image287,

clip_image289

3) clip_image291, clip_image285[1], clip_image293, clip_image295

4)clip_image297, clip_image299, clip_image301,

clip_image303

5)clip_image305, clip_image306, clip_image308,

clip_image310

6)clip_image312, clip_image314, clip_image316, clip_image318

Знайти всі значення наступних ступенів:

1) clip_image320; 2) clip_image322 ; 3)clip_image324 ; 4)clip_image326;

Рішення. Вираз clip_image328 для будь-яких комплексних clip_image330 і clip_image331визначаються формулою clip_image333

1) clip_image335

2)clip_image337

3) clip_image339

4) clip_image341.

8. Довести такі рівності:

1) clip_image343;

2) clip_image345;

3) clip_image347

Доказ: 1) clip_image349, якщо clip_image351, або clip_image353 , звідки clip_image355, або clip_image357.

Розв’язавши це рівняння, отримаємо clip_image359, тобто. clip_image361 і clip_image363

2) clip_image365, якщо clip_image367, звідки clip_image369, або clip_image371, отже,

clip_image373, clip_image375

3) clip_image377, якщо clip_image379, звідки clip_image381, або

clip_image383.

Звідси clip_image385, отже, clip_image387

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *