Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Елементарні конформні відображення


Елементарні конформні відображення

Завантажити реферат: Елементарні конформні відображення

Елементарні функції комплексної змінної

Коротка довідка. Нехай є дві множини комплексних точок
Елементарні конформні відображенняі
Елементарні конформні відображення. Якщо заданий закон
Елементарні конформні відображення, що ставить у відповідність кожному
Елементарні конформні відображення точку (або крапки)
Елементарні конформні відображення, то кажуть, що на безлічі
Елементарні конформні відображеннязадана функція комплексної змінної зі значеннями у множині
Елементарні конформні відображення. Позначають це так:
Елементарні конформні відображення. (Часто кажуть також, що
Елементарні конформні відображеннявідображає безліч
Елементарні конформні відображенняу безліч
Елементарні конформні відображення.)

Завдання функції
Елементарні конформні відображення еквівалентне завданню двох дійсних функцій
Елементарні конформні відображення і тоді
Елементарні конформні відображення , де
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення. Як і звичайному аналізі, теоретично функцій комплексної змінної дуже значної ролі грають елементарні функції. Розглянемо деякі з них.

1.
Елементарні конформні відображення Елементарні конформні відображення — Лінійна функція. Визначено при всіх
Елементарні конформні відображення. Відображає повну комплексну площину
Елементарні конформні відображенняна повну комплексну площину
Елементарні конформні відображення . Функція
Елементарні конформні відображенняі зворотна їй
Елементарні конформні відображення— Однозначні. Функція
Елементарні конформні відображенняповертає площину
Елементарні конформні відображенняна кут, рівний
Елементарні конформні відображення, розтягує (стискає) її в
Елементарні конформні відображення раз і після цього здійснює паралельне зрушення на величину
Елементарні конформні відображення. Безперервна по всій комплексній площині.

2.
Елементарні конформні відображення. Визначено на всій комплексній площині, причому
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення. Однозначна, безперервна всюди, крім точки
Елементарні конформні відображення. Відображає повну комплексну площину
Елементарні конформні відображенняна повну комплексну площину
Елементарні конформні відображення, причому точки, що лежать на одиничному колі, переходять у точки цього ж кола. Точки, що лежать усередині кола одиничного радіусу, переходять у точки, що лежать поза нею, і навпаки.

3.
Елементарні конформні відображення — Показова функція. За визначенням
Елементарні конформні відображення, тобто.
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення. З визначення випливають формули Ейлера:

Елементарні конформні відображення ;
Елементарні конформні відображення;
Елементарні конформні відображення;

Визначена на всій комплексній площині та безперервна на ній.
Елементарні конформні відображенняперіодична з періодом
Елементарні конформні відображення. Відображає кожну смугу, паралельну осі
Елементарні конформні відображення, шириною
Елементарні конформні відображення Елементарні конформні відображенняу площині
Елементарні конформні відображенняу повну комплексну площину
Елементарні конформні відображення. З властивостей
Елементарні конформні відображеннявідзначимо найпростіші:
Елементарні конформні відображення ,
Елементарні конформні відображення

4.
Елементарні конформні відображення— Логарифмічна функція (натуральний логарифм). За визначенням:
Елементарні конформні відображення.
Елементарні конформні відображенняВираз
Елементарні конформні відображення називається головним значенням
Елементарні конформні відображення, так що
Елементарні конформні відображення. Визначено для всіх комплексних чисел, крім
Елементарні конформні відображення.
Елементарні конформні відображення — нескінченно-значна функція, зворотна до
Елементарні конформні відображення.
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення

5.
Елементарні конформні відображення Елементарні конформні відображення— загальна показова функція. За визначенням,
Елементарні конформні відображення. Визначено для всіх
Елементарні конформні відображення, її головне значення
Елементарні конформні відображення, нескінченно-значна.

6. Тригонометричні функції
Елементарні конформні відображення;Елементарні конформні відображення;Елементарні конформні відображення;Елементарні конформні відображення За визначенням,
Елементарні конформні відображення;
Елементарні конформні відображення;

Елементарні конформні відображення ;
Елементарні конформні відображення

7. Гіперболічні функції. Визначаються за аналогією з такими ж функціями дійсної змінної, а саме:

Елементарні конформні відображення ,
Елементарні конформні відображення

Визначені та безперервні на всій комплексній площині.

Завдання із рішенням.

1) Знайти модулі та основні значення аргументів комплексних чисел:
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,

Рішення. За визначенням,
Елементарні конформні відображення,Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення; якщо
Елементарні конформні відображення, то очевидно,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,

Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення

Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення

Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення

Знайти суми:

1)
Елементарні конформні відображення

2)
Елементарні конформні відображення

Рішення. Нехай:
Елементарні конформні відображення, а

Елементарні конформні відображення. Помножимо другий рядок на
Елементарні конформні відображення, Складемо з першої і, скориставшись формулою Ейлера, отримаємо:
Елементарні конформні відображення

Елементарні конформні відображення; Перетворюючи, отримаємо:

Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення

3. Довести, що: 1)
Елементарні конформні відображення 2)Елементарні конформні відображення

3)Елементарні конформні відображення 4)Елементарні конформні відображення

Доказ:

1) За визначенням,
Елементарні конформні відображення

2)
Елементарні конформні відображення

3)
Елементарні конформні відображення ;
Елементарні конформні відображення

Виразити через тригонометричні та гіперболічні функції дійсного аргументу дійсні та уявні частини, а також модулі наступних функцій: 1)
Елементарні конформні відображення; 2)
Елементарні конформні відображення; 3)
Елементарні конформні відображення;

Рішення:
Елементарні конформні відображення і, враховуючи результати попереднього прикладу, отримаємо:

Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,

Елементарні конформні відображення

Нагадаємо, що
Елементарні конформні відображення

2)
Елементарні конформні відображення

Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,

Елементарні конформні відображення

3)
Елементарні конформні відображення

Елементарні конформні відображення ,
Елементарні конформні відображення ,

Елементарні конформні відображення ,
Елементарні конформні відображення .

Знайти дійсні та уявні частини наступних значень функцій:
Елементарні конформні відображення ;
Елементарні конформні відображення ;
Елементарні конформні відображення

Рішення. Наслідуючи рішення прикладу 4, матимемо:

Елементарні конформні відображення ;
Елементарні конформні відображення ;
Елементарні конформні відображення ;
Елементарні конформні відображення;

Елементарні конформні відображення ;
Елементарні конформні відображення

Обчислити: 1)
Елементарні конформні відображення; 3)
Елементарні конформні відображення ; 5)
Елементарні конформні відображення;

Елементарні конформні відображення; 4)
Елементарні конформні відображення ; 6)
Елементарні конформні відображення ;

Рішення. За визначенням,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення

1)Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,

Елементарні конформні відображення

Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,

Елементарні конформні відображення

Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення

4)Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,

Елементарні конформні відображення

5)Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,

Елементарні конформні відображення

6)Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення

Знайти всі значення наступних ступенів:

1)
Елементарні конформні відображення; 2)
Елементарні конформні відображення ; 3)Елементарні конформні відображення ; 4)Елементарні конформні відображення;

Рішення. Вираз
Елементарні конформні відображення для будь-яких комплексних
Елементарні конформні відображення і
Елементарні конформні відображеннявизначаються формулою
Елементарні конформні відображення

1)
Елементарні конформні відображення

2)Елементарні конформні відображення

3)
Елементарні конформні відображення

4)
Елементарні конформні відображення.

8. Довести такі рівності:

1)
Елементарні конформні відображення;

2)
Елементарні конформні відображення;

3)
Елементарні конформні відображення

Доказ: 1)
Елементарні конформні відображення, якщо
Елементарні конформні відображення, або
Елементарні конформні відображення , звідки
Елементарні конформні відображення, або
Елементарні конформні відображення.

Розв’язавши це рівняння, отримаємо
Елементарні конформні відображення, тобто.
Елементарні конформні відображення і
Елементарні конформні відображення

Елементарні конформні відображення, якщо
Елементарні конформні відображення, звідки
Елементарні конформні відображення, або
Елементарні конформні відображення, отже,

Елементарні конформні відображення,
Елементарні конформні відображення

3)
Елементарні конформні відображення, якщо
Елементарні конформні відображення, звідки
Елементарні конформні відображення, або

Елементарні конформні відображення.

Звідси
Елементарні конформні відображення, отже,
Елементарні конформні відображення

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *