Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Дослідження властивостей прямокутного тетраедра.


Дослідження властивостей прямокутного тетраедра.

Завантажити реферат: Дослідження властивостей прямокутного тетраедра

План реферату

І. Об’єкт дослідження.

ІІ. Мета дослідження.

ІІІ. Докази властивостей прямокутного тетраедра.

ІV. Практичне застосування властивостей прямокутного тетраедра.

Використана література.

І. Об’єкт дослідження

У роботі вперше запроваджується поняття «Прямокутний тетраедр». Тетраедр — багатогранник, що містить 4 грані. Тетраедр є трикутною пірамідою і містить 4 тригранні кути (рис. 1) Тригранний кут-фігура, утворена трьома площинами (гранями), що мають спільну точку (вершину) [1,2].

Тригранний кут містить три плоскі кути, утворені ребрами, що лежать на одній грані. Введемо поняття прямого тригранного кута. Назвемо прямим тригранним кутом тригранний кут, що містить три прямі плоскі кути (рис3), тобто. ребра тригранного кута взаємно перпендикулярні. Введемо також поняття прямокутного тетраедра. Тетраедр називається прямокутним, якщо містить прямий тригранний кут (рис. 4).

Введемо також поняття катетних граней, гіпотенузної грані, катетів та гіпотенуз прямокутного тетраедра. Прямокутний тетраедр містить три катетні грані (грані, що містять прямий кут плоский) і гіпотенузну грань (не містить прямий кут). Прямокутний тетраедр містить три катети (ребра прямого тригранного кута) і три гіпотенузи (ребра, що лежать на гіпотенузній грані). Тетраедр, катети якого рівні, назвемо рівнокатетним.

ІІ. Мета дослідження

Встановлення або доказ властивостей прямокутного тетраедра

Актуальність теми: прямокутний тетраедр є найпростішою геометричною фігурою, що має унікальні властивості. Вивчення цих властивостей у шкільному курсі математики має сприяти розвитку абстрактного та логічного мислення у учнів.

ІІІ. Докази властивостей прямокутного тетраедра.

I. Квадрат площі гіпотенузної грані дорівнює сумі квадратів площ катетних граней.

Доказ.

Нехай AD-висота гіпотенузної грані АВС, проведена до ребра ВС з вершини А, ОD-проекція AD на катетній грані ОВС, OD перпендикулярно до ВС, т.к. AD перпендикулярно ВС та АТ перпендикулярно ОВД (зворотна теорема про три перпендикуляри). SABC= 1/2 BC×AD

SOBC=1/2 BC×OD

SOAB =1/2 OA×OB

SOAC=1/2OA×OC

S² OBC+S ²OAB +S ²AOC= 1/4(BC²×OD²+OA²×OB²+OA²×OC²)=

=1/4(BC²×OD²+OA²(OB²+OC²))=1/4(BC²×OD²+OA²×BC²), т.к.

ОВ²+ОС²=ВС² (за теоремою Піфагора)

S²OBC+S²OAB+S²OAC=1/4 BC²(OD²+OA²)=1/4 BC²×AD², т.к.

OD²+OA²=AD² (за теоремою Піфагора)

тобто. S²OBC+S²OAB+S²OAC=S²ABC

S²1+S²2+S²3=S², що потрібно було довести.

ІІ. Сума квадратів гіпотенуз дорівнює подвоєній сумі квадратів катетів.

Дано: А

ОАВС — прямокутний тетраедр

де а, b, с — катети. В

АВ, ВС та АС-гіпотенузи а

Довести: b

АВ²+ВС²+АС²=2(а² + b²+с²)

Доказ. Про

АВ² = а² + b² з С

ВС² = b² + с² (за теоремою Піфагора)

АС² = а² + с²

АВ² + ВС² + АС² = 2а² + 2 b ² +2с², що потрібно було довести.

ІІІ. Обсяг прямокутного тетраедра дорівнює 1/6 добутку катетів.

А

Дано:

ОАВС — прямокутний тетраедр

а, b, с — катети. В

Довести: а b

V=(1/6) а · b · с

Доказ. Про З

Оскільки тетраедр є трикутною пірамідою, його обсяг

V=(1/3 )Sосн · h

Виберемо в якості основи катетну грань ОВД, тоді катета буде висотою тетраедра, т.к. а перпендикулярний ОВД, тобто.

V=(1/3) SOBC· а , т.к.SOBC=(1/2) b ·.с

Маємо V=(1/6) а · b · с, що потрібно було довести.

Відстань від вершини прямого тригранного кута до гіпотенузної грані визначається за такою формулою:

Доказ.

З’єднаємо точку Д з точкою А та отримаємо прямокутний трикутник ОАД

cos α = ОД/ОА = h/a

Оскільки h = (abc) / √a²b²+b²c²+a²c²

cos α = (bc)/√a²b²+b²c²+a²c² , що потрібно було довести.

Аналогічно:

cos β = ОД/ОВ = d/b = (ac)/√a²b²+b²c²+a²c²

cos γ = ОД/ОС = d/c = (ab)/√a²b²+b²c²+a²c²

Радіус сфери, що описує прямокутний тетраедр, визначається за такою формулою:

Доказ. з С

На базі прямокутного тетраедра

ОАВС добудовуємо прямокутний паралелепіпед ОВДСАКЛМ. Діагоналі прямокутного паралелепіпеда є діаметрами сфери, що описує його, т.к. центр симетрії прямокутного паралелепіпеда збігається з центром описаної сфери, тобто:

КС = D = √a²+b²+c² (ВС = √b²+c² , ВК = а, КС = √ВС²+ВК² )

Оскільки ця сфера одночасно описує прямокутний

тетраедр, маємо:

R = (1/2)D = (1/2)√a²+b²+c²,

що й потрібно було довести.

VII. Радіус сфери, вписаної у прямокутний тетраедр, визначається за такою формулою:

Дано: ОАВС — прямокутний тетраедр

ОА = а, ОВ = b, ОС = с – катети. О1 – центр вписаної сфери

r — радіус вписаної сфери

Довести:

r = h / (1 + cosα + cosβ + cosγ

Доказ: Нехай вписана сфера стосується гіпотенузної грані в точці Д. Тоді О1Д перпендикулярна до гіпотенузної грані та О1Д = r.

Нехай do – одиничний вектор нормалі до гіпотенузної грані, тобто. |dо| = 1

Координати цього одиничного вектора (cos α; cos β; cos γ) є спрямовуючими косинусами нормалі до гіпотенузної грані.

Знайдемо проекцію вектора ОО1 з координатами (r; r; r) на вектор нормалі:

ОК = |ОО1|cosδ , де — кут між вектором ОО1 і вектором нормалі.

|OO1|cosδ = (OO1·do) = r·cosα + r·cosβ + r·cosγ , де (О1·dо) – скалярне твір двох векторів.

Нехай перпендикуляр до гіпотенузної грані ВІН = h,

тоді h = OK + KH, тобто.

h = | OO1 | cosδ + r, т.к. КН = r

(оскільки КНДО1 є прямокутником).

Маємо

h = r cosα + r cosβ + r cosγ + r

тобто.

r = h / (1 + cosα + cosβ + cosγ)

З урахуванням 4-го та 5-го властивостей прямокутного тетраедра маємо повну формулу:

Довести, що гіпотенузна а грань є правильним трикутником і косинуси О Д двогранних кутів між гіпотенузовою гранню та катетними а гранями рівні С

Доказ.

Сторони гіпотенузної грані знаходимо за теоремою Піфагора:

АС = √ ОА² +OC² = √2 а

АВ = √ ОА² +OB² = √2 а

ВС = √ ОВ² + ОС² = √2 а

тобто. трикутник АВС рівносторонній або правильний, що потрібно довести.

Проведемо відрізок АТ перпендикулярно до ВС. Відрізок ОД є проекцією відрізка АТ на межу ОВД і тому ОД буде перпендикулярний ВС по теоремі про три перпендикуляри. Отже, кут ОДА є лінійним кутом двогранного кута між гранями ОВС та АВС

Оскільки АТ є висотою правильного трикутника АВС:

АТ = (√3/2)АВ = (√3/2)√2 а = √3/2 а

ОД є висотою рівнобедреного прямокутного трикутника ОВС, опущеної з вершини прямого кута. Отже:

ОД = а/√2

Косинус двогранного кута: сos _ОДА = ОД/АД = 1/√3 , що потрібно було довести.

Результати дослідження: дослідження дозволили встановити понад 8 найважливіших властивостей прямокутного тетраедра. Оскільки ці дослідження проводилися вперше, всі отримані результати мають наукову новизну.

Формула, що встановлює зв’язок між площами граней прямокутного тетраедра, є аналогом теореми Піфагора для тривимірних постатей і тому має велике теоретичне значення.

ІV. Практичне застосування властивостей прямокутного тетраедра

Результати досліджень можна використовувати під час вирішення завдань на факультативних заняттях з тем «Піраміда» та «Прямокутний паралелепіпед» у середній школі. З використанням властивостей прямокутного тетраедра можна знайти більш раціональні та спрощені варіанти вирішення задач порівняно з традиційними методами.

Наприклад: завдання №96 (стор.131) навчального посібника: В.М.Клопський, З.А.Скопець, М.І.Ягодовський. Геометрія.-М.: Просвітництво, 1979.

Підставою піраміди служить прямокутний трикутник з катетами а і b, висота піраміди проходить через вершину прямого кута основи і дорівнює Н. Знайти площу повної поверхні.

Список використаної литературы:

  1. М.Я.Вигодський. Довідник з елементарної математики. Вид. 6-те, Гостехіздат, М.-Л., 1952.
  2. А.П.Кисельов. Геометрія. Підручник для середньої школи, ч.1 і 2. — М: Учпедгіз 1951.
  3. Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев та ін. Геометрія. Підручник для середньої школи.-М: Просвітництво, 1994.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *