Доповідь - Система філософії математики Арістотеля
Химия

Доповідь — Система філософії математики Арістотеля


Завантажити доповідь: Система філософії математики Арістотеля

К.Маркс назвав Арістотеля (384-322 рр. до н.е.) «найбільшим філософом давнини». Основні питання філософії, логіки, психології, природознавства, техніки, політики, етики та естетики, поставлені в науці Стародавньої Греції, отримали у Арістотеля повне та всебічне висвітлення. У математиці він, мабуть, не проводив конкретних досліджень, проте найважливіші сторони математичного пізнання були піддані їм глибокого філософського аналізу, який став методологічною основою діяльності багатьох поколінь математиків.

На час Аристотеля теоретична математика пройшла значний шлях і досягла високого рівня розвитку. Продовжуючи традицію філософського аналізу математичного пізнання, Аристотель поставив питання необхідність упорядкування самого знання способи засвоєння науки, про цілеспрямовану розробку мистецтва ведення пізнавальної діяльності, куди входять два основних розділу: » освіченість » і » наукове знання справи » . Серед відомих творів Арістотеля немає спеціально присвячених викладу методологічних проблем математики. Але за окремими висловлюваннями, щодо використання математичного матеріалу як ілюстрації загальних методологічних положень можна скласти уявлення про те, яким був його ідеал побудови системи математичних знань.

Вихідним етапом пізнавальної діяльності, згідно з Аристотелем, є навчання, яке «засновано на (деякому) вже раніше наявному знанні… Як математичні науки, так і кожне з інших мистецтв набувається (саме) у такий спосіб». Для відокремлення знання від незнання Арістотель пропонує проаналізувати «всі ті думки, які по-своєму висловлювали в цій галузі деякі мислителі» і обміркувати труднощі, що виникли при цьому. Аналіз слід проводити з метою з’ясування чотирьох питань: «що (річ) є, чому (вона) є, чи є (вона) і що (вона) є».

Основним принципом, що визначає всю структуру «наукового знання справи», є принцип зведення всього до початків та відтворення всього з початків. Універсальним процесом виробництва знань з початків, згідно з Аристотелем, виступає доказ. «Доказом же я називаю силогізм, — пише він, — який дає знання». Викладу теорії доказового знання повністю присвячений «Органон» Арістотеля. Основні положення цієї теорії можна згрупувати в розділи, кожен з яких розкриває одну з трьох основних сторін математики як науки, що доводить: «те, щодо чого доводиться, те, що доводиться і те, на підставі чого доводиться». Таким чином, Аристотель диференційовано підходив до об’єкта, предмета та засобів доказу.

Існування математичних об’єктів визнавалося задовго до Аристотеля, проте піфагорійці, наприклад, припускали, що вони перебувають у чуттєвих речах, платоніки ж, навпаки, вважали їх окремими. Згідно з Аристотелем: 1. У чуттєвих речах математичні об’єкти не існують, так як «перебувати в тому ж самому місці два тіла не в змозі»; 2. «Неможливо й те, щоб такі реальності існували окремо».

Аристотель вважав предметом математики «кількісну визначеність і безперервність». У його трактуванні «кількістю називається те, що може бути поділено на складові частини, кожна з яких … є чимось одним, даним у наявності. Та чи інша кількість є безліч, якщо її можна вважати, це величина, якщо її можна виміряти «. Безліч при цьому називається те, що в можливості (потенційно) ділиться на частини не безперервні, величиною те, що ділиться на частини безперервні. Перш ніж дати визначення безперервності, Аристотель розглядає поняття нескінченного, тому що «воно відноситься до категорії кількості» і проявляється насамперед у безперервному. «Що нескінченне існує, впевненість у цьому виникає у дослідників з п’яти підстав: з часу (бо воно нескінченно); з поділу величин..; далі, тільки таким чином не вичерпаються виникнення і знищення, якщо буде нескінченне, звідки береться, що виникає. Далі, з того, що кінцеве завжди межує з чим-небудь, тому що необхідно, щоб одне завжди межувало з іншим.

Чи існує нескінченне як окрема сутність, чи воно є акциденцією величини чи множини? Аристотель приймає другий варіант, тому що «якщо нескінченне не є ні величина, ні безліч, а саме є сутністю …, то воно буде неподільним, тому що ділене буде або величиною, або безліччю. Якщо ж воно не ділимо, воно не нескінченне у сенсі непрохідного остаточно » . Неможливість математичного нескінченного як неподільного випливає з того, що математичний об’єкт — відволікання від фізичного тіла, а «актуально неподільне нескінченне тіло не існує». Число «як щось окреме і в той же час нескінченне» не існує, адже «…якщо можливо перерахувати число, то буде можливість пройти до кінця і нескінченне». Таким чином, нескінченність тут у потенції існує, актуально ж – ні.

Спираючись на викладене вище розуміння нескінченного, Аристотель визначає безперервність та перервність. Так, «безперервне є саме собою щось суміжне. Сумежне є те, що, слідуючи за іншим, стосується його». Число як типово перервне (дискретне) утворення формується з’єднанням дискретних, далі неподільних елементів – одиниць.

Геометричним аналогом одиниці є точка; при цьому з’єднання точок не може утворити лінію, оскільки «точкам, з яких було б складено безперервне, необхідно або бути безперервними, або торкатися один одного». Але безперервними вони не будуть: «адже краї точок не утворюють чогось єдиного, тому що у неподільного немає краю, ні іншої частини». Крапки не можуть і торкатися один одного, оскільки стосуються «всі предмети або як ціле ціле, або своїми частинами, або як ціле частини. Але так як неподільне немає частин, їм необхідно торкатися цілком, але що стосується цілком не утворює безперервного».

Неможливість складання безперервного з неподільних і необхідність його поділу на завжди ділі частини, встановлені для величини, Аристотель поширює на рух, простір і час, обґрунтовуючи (наприклад, у «Фізиці») правомірність цього кроку. З іншого боку, він дійшов висновку, що визнання неподільних величин суперечить основним властивостям руху. Виділення безперервного і перервного як різних пологів буття послужило основою розмежування в логіко-гносеологічної області, для різкого відмежування арифметики від геометрії.

«Початками… у кожному роді я називаю те, щодо чого не може бути доведено, що воно є. Отже, те, що означає первинне і з нього випливає, приймається. Існування почав необхідно прийняти, інше — слід довести. Наприклад, що таке одиниця чи що таке пряме чи що таке трикутник (слід прийняти); що одиниця і величина існує, також слід прийняти, інше — довести » . У питанні про появу в людей здібності пізнання почав Аристотель не погоджується з поглядом Платона про вродженість таких здібностей, а й допускає можливості придбання їх; тут він пропонує наступне рішення: «необхідно мати деяку можливість, проте не таку, яка перевершувала б ці здібності щодо точності». Але така можливість, очевидно, притаманна всім живим істотам; насправді, вони мають природжену здатність розбиратися, яка називається чуттєвим сприйняттям. Формування почав йде » від попереднього і більш відомого нам » , тобто від того, що ближче до чуттєвого сприйняття до » попереднього і відомого безумовно » (таким є загальне). Аристотель дає розгорнуту класифікацію почав, з різних ознак.

По-перше, він виділяє «початки, з яких (щось) доводиться, і такі, про які (доводиться)». Перші «суть загальні (всім початку)», другі — «властиві (тільки цій науці), наприклад, число, величина». У системі почав загальні посідають чільне місце, та їх недостатньо, оскільки » серед загальних почав може бути таких, у тому числі можна було б довести все » . Цим і пояснюється, що серед початків мають бути «одні властиві кожній науці окремо, інші — спільні всім». По-друге, початки поділяються на дві групи залежно від того, що вони розкривають: існування об’єкта чи наявність у нього деяких властивостей. По-третє, комплекс почав доводить науки ділиться на аксіоми, припущення, постулати, вихідні визначення.

Вибір почав у Аристотеля виступає визначальним моментом побудови науки, що доводить; саме початку характеризують науку як дану, виділяють її з інших наук. «Те, що доводиться», можна трактувати дуже широко. З одного боку, це елементарний доказуючий силогізм та його укладання. З цих елементарних процесів будується будівля доказує у вигляді окремо взятої теорії. З них створюється і наука як система теорій. Проте чи всякий набір доказів утворює теорію. Для цього він повинен задовольняти певним вимогам, що охоплюють як зміст пропозицій, що доводяться, так і зв’язки між ними. У межах наукової теорії необхідно має місце ряд допоміжних визначень, які є первинними, але служать розкриття предмета теорії.

Хоча питання методології математичного пізнання і були викладені Аристотелем у якійсь окремій роботі, за змістом разом вони утворюють повну систему. В основі філософії математики Арістотеля лежить розуміння математичних знань як відображення об’єктивного світу. Ця установка зіграла значної ролі у боротьбі Аристотеля з платоновим ідеалізмом; адже «якщо в явищах чуттєвого світу не знаходиться зовсім математичне, то як можливо, що до них додаються його властивості?» – писав він. Вочевидь, матеріалізм Аристотеля був непослідовним, загалом його погляди більшою мірою відповідали потребам математичного пізнання, цим погляди Платона. У свою чергу математика була для Аристотеля одним із джерел формування низки розділів його філософської системи.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *