Диференціал 5
Тести та шпаргалки

Диференціал 5


План

Функціональний диференціал.

Геометрична блокування диференціала.

Лінеаризація функції.

Диференціал функції складання.

Нова диференціальна функція декількох змінюється.

Досить зрозуміти диференціацію функцій.

Вирівнювання дотичної площини до поверхні та нормалі.

Інваріантна форма диференціала.

Диференціювання функцій, заданих параметрично.

Неявні функції, їх диференціація.

1. Диференціальна функція

1.1 Позначається диференційована функція

Призначений. Функція називається диференційованою в точці, тому її приріст у цій точці можна представити наступним чином:

(6,48)

de — число, а пряма — до нуля, якщо зростання прямої дорівнює нулю.

Призначений. Функція називається диференційованою в точці, тому те саме збільшення в цій точці можна зобразити таким чином:

(6.49) де

— цифри; i — нескінченно малий при (при ).

Теорема. Для того, щоб функція була диференційована в точці, необхідно і достатньо, щоб вона була худою в цій точці. При виконанні цієї прання еквівалент (6.48) може змінитися, якщо він став дорожчим для себе цій похідної:

(6,50)

Останній. Якщо функція в точці Травня (скінна) втрачена, то в цій точці функція обов’язково є непостійною.

Зрозуміло, з (6.50) зрозуміло, що ти пищиш.

Для функції двох різних розумів, диференціація жорстокіш, нижня частина подібних у точці.

Теорема (потребує диференціювання Ума). Функція диференційована в точці, непостійна в цей момент і травень у наступній частині дня для обох змін.

Теорема (достатня диференціація розуму). Якщо функція частково схожа на зміни, а якщо частково схожа на ту саму точку, то функція в цій точці диференційована.

Повага. Функція (будь-якої кількості змін), диференційована в точці шкіри діако області, називається диференційованою в цій області.

1.2 Диференціал

Диференціальна функція однієї змінної. Показово, що додатки в рівності (6.50) відіграють іншу роль. Отже, інший додаток при є значення більшого порядку меншості, нижчого,

також перший доданок, якщо i, є значення одного порядку меншості z. Крім того, ще один додаток до рівності (6.50) із i є значенням більшого порядку меншості, першим нижчим,

Також перше додавання в рівності (6.50) є основною частиною збільшення функції.

Призначений. Добуток називається диференціалом функції в точці i позначається символом abo,

, . (6,51)

Диференціал аргументу називається йога приростом, тобто вважають. Тоді формула диференціала функції виглядає так

,

або

(6,52)

Відповідаючи співвідношенням (6.52), складаємо таблицю для диференціалів у вигляді елементарних функцій:

один. , .

2. , .

3. , .

чотири. , .

5. , .

6. , .

7. , .

вісім. , .

9. , .

десять. , .

одинадцять. , .

12. , .

13. , .

чотирнадцять. , .

п’ятнадцять. , .

16. , .

17. , .

вісімнадцять. , .

Потужність диференціала. А також — диференційні функції, то без посередництва за рахунок розмежування диференціала та повноважень подібних, але й авторитету диференціала:

один) (),

2) ,

) ,

чотири).

Геометрична блокування диференціала. Нехай видно графік диференційованої функції, зображення на рис. 6,6 (крива).

Візьмемо точки i на кривій. У точці ми можемо провести до кривої. Тоді з трикутника ми знаємо довжину відрізку:

або

. (6,53)

Рівність (6.53) і характеризує геометричну зміну диференціала: диференціал функції дорівнює збільшенню ординати точки до графіка функції в розглянутій точці.

Рис.6.6

Механічна блокування диференціала. Припустимо, що матеріальна точка руйнується під час верховенства права

дедиференційована функція при поточному значенні години. Тоді та сама функція може мати диференціал

або .

Добуток повертає дорогу, яку точку пройти за годину, обвалившись від сталевої свідкистю.

Пізніше механічне помутніння диференціала функції виглядає так: диференціал функції вигинає той шлях, який точка пройшла за годину, він згортався прямо і рівномірно сталевим свідкістом.

6.6.3. Останній диференціал функції двох змін

Значення сумарного диференціала. Нехай функція в активній області не переривається і може бути частково втрачена.

Вибираємо достатню точку в цьому регіоні. Нам потрібно збільшити обидва аргументи, тому ми беремо точку

. Для зростання

одержимий такими вірусами:

(6,54)

Коли я залишаюся, дві доданки є нескінченно малі в найвищому порядку, осколки і . Перші дві доданки складають головну частину віразі нового збільшення.

Призначений. Головний, лінійний і частина зростання функції називається другим диференціалом функції двох змін і позначається або:

. (6,55)

(Легко зрозуміти, як привнести сенс до введеного вищого розуміння диференціала функції однієї зміни, як заміни перегляду функції).

Приклад. Знайти останній диференціал функції.

Р озв ‘ ізо к.

У будь-який момент.

Повага. Значення повного диференціала легко побачити у вигляді диференційованої функції, незалежно від кількості змін.

Новий диференціал функції в цій точці називається основним, лінійним щодо збільшення всіх аргументів і частиною загального збільшення функції.

Приклад. .

Р озв ‘ ізо к.

У бе-якій точці

.

Значна дотична площина і нормаль до поверхні. Є кілка еквівалент між сама по собі означає дотичні площі до поверхні. Ми дамо позначення, яке є природним загальмуванням дотичного позначення (пряма лінія) до кривої (рис. 6.7).

Давай — точка віддана на поверхню. Давайте подивимося на поверхню друга, поміняємо точку і проведемо пряму лінію.

Площина, яка проходить через точку, називається точкової площиною до поверхні в точці, як якщо б це була пряма лінія між квадратом і центром площини до нуля, якщо відстань пряма до нуля, то точка на поверхня не буде випрямлятися до точки.

Нормаллю до поверхні в точці називають пряму, яка проходить через точку перпендикулярно доторної площини до поверхні в цій точці.

Рівня дотичній площині і нормальні. На поверхні, встановлена ​​рівна, де — функція, диференційована в точці, точка є площиною в точці головної і може дорівнювати

. (6,56)

Легко записати вирівнювання нормалі для вирівнювання дотичної площини до поверхні в точках:

. (6,57)

Геометрична зміна повного диференціала. Нехай функція диференційована в точці. Це означає, що поверхня дається рівною, має в точці доттичну плоску (рис. 6.8). вона дорівнює (6,56),

Рис.6.7 Рис.6.8

поклавши; , ви можете записати з першого погляду

.

Різниця між точками точки площини, відповідними точками i , і праворуч є останнім диференціалом функції в точці праворуч.

Пізніше останній диференціал функції в точці геометрично означає збільшення придатності дотарної площини до поверхні, як би зображує функцію, в точці при переміщенні від точки до точки.

Інваріантна форма запису диференціала. Для позначення, для функції, диференційованої в точці з двох незалежних змінних

.

Скажімо, зокрема, (тобто), одержимий Батьком,. Так само, поклавши, нав’язливо. Таким чином, диференціали незалежних змін збігаються зі зростанням їх змін, і ми можемо записати диференціальну функцію у вигляді

,

інакше, що ти,

.

Nehay de і — складні функції незалежного варіанту і. Допустимо, що функції диференційовані в точці , а функція диференційована в точках , de , . Якщо функція згортається, вона буде диференційована в балах. Коли циму, згідно з (6.58),

.

Застосувавши правила підрахунку часткових втрат

збірні функції (формули 6.47), нав’язливо

Осколки в руках мають дорівнювати диференціалам функцій, , можливо:

.

Також, якщо вона незалежна, якщо це незалежна зміна, якщо це незалежна зміна, якщо це незалежна зміна, диференціальну функцію можна записати у вигляді

.

У зв’язку з cim така форма запису нового диференціала називається інваріантною.

Форма написання нового диференціала

не буде інваріантним, він може бути менш переможним, як і є — незалежні зміни, осколки в інший час,.

6.7. Диференціація параметрично призначених функцій

Призначений. Завдання функціонального відкладення між двома функціями і при ньому, крім самої допоміжної змінної, називають параметричною задачею функції. Додаткова зміна при виклику параметра.

Введемо формулу для випадкової функції, заданої параметрично. Припустимо, що функції задані параметрично. Припустимо, що функції та диференціації в інтервалі точок шкіри та для цих функцій такі, що вони подібні до нуля, .

Те ж саме для функції шкіри використовувати диференціали, зірочки

(6,59)

або

.

Приклад. Знайдіть точний тип функції, оскільки вона задана параметрично, , .

R про z в ‘I z про k. Ми знаємо, що я:

,

;

.

6.8. Неявні функції, їх диференціація

Давайте розглянемо різницю між неявною функцією та однією незалежною зміною. Нехай дається порівну.

Припустимо, що для диференційованої функції аргументу значення дорівнює одному i. Бо хто винний, згадайте пісні, доводячи їх до опускання.

Теорема. (теорема заснування неявної функції). Давай:

1) функція позначена і не є переривчастою одночасно від її часткових родичів і в фактичній поблизу точки ;

2) в точках ближче до нуля:

;

3) з точки зору нуля: .

Тоді

1) у дейкому прямолінійний

вирівнювання позначає як однозначну функцію типу : ;

2) коли функція отримує значення:

;

3) на інтервалі функція непостійна і може бути втрачена назавжди.

Давай знатимемо, куди я піду. Оскілки на вказаному інтервалі, то для чи то її точки, чи то, що однакові, , de .

Розрахунок повну похідну, маємо

,

зірки

. (6,61)

Приклад. Знати корисні функції.

Р озв ‘ ізо к.

.

Нехай дається порівну

(6,62)

і з ким заклинаються розуми, подібні до розумів 1) — 3). Ти можеш

щоб довести, що дорівнює (6.62) означає в струмі поблизу точки площини одну й ту саму диференційовану функцію , так що значення при , .

Частково подібні функції обчислюються за формулами:

; . (6,63)

Давайте поглянемо на розвиток теорії неявних функцій. Нехай плоска крива дана рівним у точці, яку потрібно записати на прицілі

. (6,64)

Вирівнювання нормалі до кривої в точці записується у вигляді

. (6,65)

Нехай поверхні приписані рівні. Переходимо до суті.

Вирівнювання дотичної площини до поверхні в точці фіксується на прицілі

(6,66)

Вирівнювання нормалі до тієї ж поверхні в точці зору

. (6,67)

Застосувати.

1. Знати вирівнювання точки та нормалі до еліпса в точці.

R про z в ‘I z про до. Тут;

Оскілки, крива може бути в цій точці дотичну і нормальною. вони рівні:

дотичний;

нормальний.

2. Знати вирівнювання дотичної площини та нормалі до поверхні в точці.

Р озв ‘ ізо к. Тут ;

— функції, непереривний скріз, , отож, у точках можна провести точкову площину та нормаль до поверхні.

Рівняння:

дотична площа;

нормальний.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *