Давньогрецька математика
Химия

Давньогрецька математика


Давньогрецька математика

Поняття давньогрецька математика охоплює досягнення грекомовних математиків, що жили в період між 6 століттям до н. е. та V століттям н. е.

Початковий період

Аж до VI століття до н. грецька математика нічим визначним не прославилася.

У VI ст. до н.е. З’являються одразу дві наукові школи – іонійці (Фалес Мілетський, Анаксимен, Анаксимандр) та піфагорійці. Фалес добре вивчив вавилонську математику та астрономію. Іонійці дали перші докази геометричних теорем. Проте головна роль справі створення античної математики належить піфагорійцям

Піфагорійська школа.

У 530 р. до н.е. у місті Кротон заснував щось на кшталт таємного духовного ордена. Потім Піфагорійські школи з’явилися в Афінах, на остовах і в грецьких колоніях, які математичні знання, суворо оберігаються від сторонніх, стали загальним надбанням.

Піфагорійці займалися астрономією, геометрією, арифметикою, створили теорію музики. Геометрія піфагорійців обмежувалася планіметрією та завершувалася доказом «теореми Піфагора».

Було побудовано математичну теорію музики. Звучання струни залежить від її довжини та сили натягу.

Піфагорійці розглядали числа як складові елементи матерії. Ототожнювали числа із сукупностями точок, що утворюють геометричні зміни.

Піфагорійці вважали парні числа жіночими, а непарні чоловічими. Непарне число – запліднююче і, якщо його поєднувати з парним, воно візьме гору. Символ шлюбу у піфагорійців складався із суми чоловічого, непарного числа три та жіночого, парного числа два. Шлюб – це п’ятірка, що дорівнює трьом плюс два. З тієї ж причини прямокутний трикутник зі сторонами три, чотири, п’ять назвали ними «фігура нареченої». Серед властивостей десятки відзначимо, що до неї входить рівну кількість простих і складових чисел, а також стільки ж парних, скільки непарних. Десятка вважалася у піфагорійців ідеальним числом і символізувала Всесвіт. Оскільки число десять — ідеальне, міркували вони, на небі має бути рівно десять планет. Слід зазначити, що тоді були відомі лише Сонце, Земля та п’ять планет. Піфагорійці знали також досконалі та дружні числа. Досконалим називалося число, що дорівнює сумі своїх дільників. Дружні — числа, кожне з яких — сума власних дільників іншого числа У давнину числа такого роду символізували дружбу, звідси і назву. Крім чисел, викликали захоплення і поклоніння, у піфагорійців були і звані погані числа. Це числа, які не мали ніяких переваг, а ще гірше, якщо таке число було оточене «хорошими» числами. Прикладом тому може бути знамените число тринадцять – чортова дюжина чи число сімнадцять, яке викликало особливу відразу у піфагорійців.

Піфагорійці довели незрівнянність сторони квадрата та його діагоналі (ірраціональність). Після відкриття несумірності стали розробляти геометричну алгебру, що застосовується при доказі алгебраїчних співвідношень і розв’язання квадратних рівнянь.

Співвідношення (clip_image001a+b)2 =a2+2ab+b2 записувалося мовою геометричної алгебри так: рис

Є цілі набори висловів, приписуваних Піфагору, наприклад «Піфагорові закони та моральні правила». Ось деякі з них.

1. Більше помічай і спостерігай, ніж читай: хто читає багато, той читає погано.

2. Що таке мудрість? Знання порядку. Якщо хочеш бути мудрим протягом свого життя, все постав на своє місце. Минуща тимчасова слава не варте тихого і безтурботного порядку, видимого в повсякденних справах мудрого.

3. Не будь членом вченого суспільства: наймудріші, коли вони становлять суспільство, стають простолюдинами.

4. Не покладайся на дружину, яка багато сміється.

5. Вирізняй знання від мудрості.

6. Якщо тебе запитають: «У чому благополуччя?»,-відповідай: «Бути у злагоді із самим собою».

7. Не сповіщай істину на місцях загальнонародних: народ вживе її на зло.

8. Всі люди знають, чого хочуть, але мало хто знає, що їм потрібно.

V століття до н. Зенон, Демокріт

Зенон Елейський висловив понад 40 парадоксів, з яких найбільш відомі чотири. Вони й досі є предметом серйозного аналізу. Вони порушені найделікатніші питання основ математики – кінцівка і нескінченність, безперервність і дискретність.

Зенон Елейський належав до тієї грецької філософської школи, яка вчила, що будь-яка зміна у світі ілюзорна, а буття єдине і незмінне. Його парадокс показує, що рух, зразок «видимої» зміни, логічно неможливий.

Щоб перетнути кімнату, спочатку потрібно подолати половину шляху. Але потім потрібно подолати половину того, що залишилося, потім половину того, що залишилося після цього, і таке інше. Цей поділ навпіл продовжуватиметься до нескінченності, з чого робиться висновок, що вам ніколи не вдасться перетнути кімнату.

Апорія, відома під назвою Ахілл ще більш вражаюча. Давньогрецький герой Ахілл збирається змагатися у бігу з черепахою. Якщо черепаха стартує трохи раніше за Ахілла, то йому, щоб її наздогнати, спочатку потрібно добігти до місця її старту. Але на той момент, як він туди дістанеться, черепаха проповзе деяку відстань, яку треба буде подолати Ахіллу, перш ніж наздогнати черепаху. Але за цей час черепаха заповзе вперед ще на деяку відстань. А оскільки кількість таких відрізків нескінченна, швидконогій Ахілл ніколи не наздожене черепаху.

Ще одна апорія, словами Зенона:

Якщо щось рухається, воно рухається або в тому місці, яке воно займає, або в тому місці, де його немає. Однак воно не може рухатися в тому місці, яке воно займає (оскільки в кожний момент часу воно займає все це місце), але воно також не може рухатися і в тому місці, де його немає. Отже, рух неможливий.

Цей парадокс називається стріла (у кожний момент часу стріла, що летить, займає місце, рівне їй по протяжності, отже вона не рухається).

Нарешті, існує четверта апорія, у якій йдеться про дві рівні по довжині колонах людей, що рухаються паралельно з рівною швидкістю в протилежних напрямках. Зенон стверджує, що час, за який колони пройдуть один повз одного, становить половину часу, потрібного одній людині, щоб пройти повз всю колону.

З цих чотирьох апорій перші три найбільш відомі та найбільш парадоксальні. Четверта пов’язана з неправильним розумінням природи відносного руху.

Найгрубіший і найвитонченіший спосіб спростувати парадокс Зенона — це встати і перетнути кімнату, обігнати черепаху або випустити стрілу. Але це не торкнеться ходу його міркувань. Аж до XVII століття мислителі було неможливо знайти ключ до спростування його хитромудрої логіки. Проблема була вирішена лише після того, як Ісаак Ньютон та Готфрід Лейбніц виклали ідею диференціального обчислення, яке оперує поняттям межа; після того як стала зрозумілою різниця між розбиттям простору і розбиттям часу; нарешті, після того як навчилися поводитися з нескінченними та нескінченно малими величинами.

Наприкінці V століття до н. жив ще один видатний мислитель Демокріт. Знаменитий створенням концепції атомів. Знайшов обсяг піраміди та конуса, але доказ своїх формул не дав.

IV століття до н. — Платон, Євдокс

У 389 році до н. Платон заснував у Афінах свою школу – Академію. Математиків, що приєдналися до Академії, можна поділити на дві групи: на тих, хто здобув свою математичну освіту поза Академією, та на учнів Академії. Платон ставив питання про природу та структуру математики. Його учні першими повністю усвідомили абстрактний характер математичних об’єктів. Учні платона виступали за те, щоб використовувати лише дедуктивні міркування і цей вибір радикально змінив математику. Сам Платон саме Математичних досліджень не вів, але опублікував глибокі міркування з філософії та методології математики.

Євдокс Кнідський

Йому належать два найвидатніші відкриття: загальна теорія відносин (геометрична модель речових чисел) та античний аналіз – метод вичерпування. Метод полягав у наступному: для знаходження площі (або обсягу) деякої фігури в цю фігуру вписувалася монотонна послідовність інших фігур і доводилося, що їх площі (обсяги) необмежено наближаються до площі (обсягу) шуканої фігури. Потім обчислювався межа послідовності площ (обсягів), навіщо висувалася гіпотеза, що він дорівнює деякому A і доводилося, що зворотне призводить до суперечності. Всі ці кроки, включаючи обґрунтування єдиності межі, повторювалися кожному за завдання.

Евклід- один із великих геометрів давнини.

Головний працю «Початку» (13 книг), що містить основи античної математики, елементарної геометрії, теорії чисел, загальної теорії відносин і методу визначення площ та обсягів, що включав елементи теорії меж, вплинув на розвиток математики. Їм були сформульовані всі завдання, еквівалентні квадратним рівнянням. Усі вони вирішувалися геометрично.

Висновок

Грецька математика вражає, перш за все, красою та багатством змісту. Два досягнення грецької математики далеко пережили своїх творців. Перше – греки побудували математику як цілісну науку зі своєю методологією, заснованої на чітко сформульованих законах логіки. Друге – вони проголосили, що закони природи збагнені для людського розуму, і математичні моделі – ключ до їх пізнання. У цих двох відносинах антична математика є цілком сучасною.

Література

• Історія математики за редакцією А.П. Юшкевича (у трьох томах):

Рибніков К.А. Історія математики. М., 1994.

Вигодський М. Я. Арифметика та алгебра у стародавньому світі. М., 1967.

• Велика радянська енциклопедія (електронна версія)

• Енциклопедія Кирила та Мефодія (електронна версія)

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *