Бінарна алгебраїчна операція
Химия

— Чудові криві — скачати безкоштовно


- Чудові криві - скачати безкоштовно

Завантажити реферат: Чудові криві

Ланцюжок Галілея.

- Чудові криві - скачати безкоштовноУ книзі Галілея «Бесіди і математичні докази…», надрукованій вперше італійською мовою в голландському місті Лейдені в 1638 р., пропонувався, між іншим, такий спосіб побудови параболи: «Вб’ємо в стіну два цвяхи на однаковій висоті над горизонтом і такій відстані від друга, щоб воно дорівнювало подвійній ширині прямокутника, на якому бажано побудувати напівпараболу; між одним і іншим цвяхом підвісимо тонкий ланцюжок, який звисав би вниз і був такий довжини, щоб найнижча точка його знаходилася від рівня цвяха на відстані, що дорівнює висоті прямокутника (рис. 1). Ланцюжок цей, звисаючи, розташується у вигляді параболи, так що, відзначивши її слід на стіні пунктиром, ми отримаємо параболу, що розсікається навпіл перпендикуляром, проведеним через середину лінії, що з’єднує обидва цвяхи».

Цей спосіб простий і наочний, але не точний. Це розумів і сам Галілей. Насправді, якщо параболу побудувати за всіма правилами, то між нею та ланцюжком виявляться зазори. Вони видно на тому ж рис. 1, де відповідна парабола позначена суцільною лінією.

Ланцюгова лінія.

Тільки через півстоліття після виходу книги Галілея старший із двох братів-математиків Бернуллі — Якоб знайшов чисто теоретичним шляхом точну формулу ланцюжка, що провисає. Не поспішаючи повідомляти своє рішення завдання, він кинув виклик іншим математикам. Правильне рішення опублікували вже наступного 1691г. Християн Гюйгенс, Готфрід Вільгельм Лейбніц та молодший брат Якоба – Йоганн Бернуллі. Усі вони користувалися на вирішення завдання, по-перше, законами механіки, а по-друге, могутніми засобами недавно розробленого тоді математичного аналізу – похідної та інтегралом.

Гюйгенс назвав криву, за якою розташовується ланцюжок, підвішений за два кінці, ланцюговою лінією.

Оскільки ланцюжки бувають різної довжини, та й кінці їх можуть підвішуватися на різних відстанях один від одного – то ближче, то далі, то й ланцюгових ліній існує не одна, а багато. Але всі вони подібні між собою, як, наприклад, подібні між собою до будь-яких кіл.

Графік показової функції.

- Чудові криві - скачати безкоштовноВиявилося, що розгадка секрету ланцюгової лінії лежить у показовій функції. У XVIII столітті вона була ще новинкою, а тепер її мусить знати кожен восьмикласник. Це функція виду y=ax, де a – якесь позитивне число, не рівне 1. Обчислення показали, що для побудови ланцюгової лінії найзручніше прийняти a рівним так званому неперову числу, що позначається буквою e. Воно отримало своє ім’я на честь шотландського математика Джона Непера – одного з винахідників логарифмів. Число це майже так само відоме, як і число p; його наближене значення, взяте з точністю до 0,0005: e»2,718.

На рис. 2 суцільною лінією зображено графік показової функції y = ex, а пунктиром — графік іншої показової функції, що тісно пов’язаної з попередньою.

Якщо користуватися негативними показниками ступенів, то останню функцію можна у вигляді y=ex. Тепер ясно, що обидва графіки симетричні один одному щодо осі ординат, що й виявляє малюнок.

- Чудові криві - скачати безкоштовно

- Чудові криві - скачати безкоштовно

Утворимо тепер дві нові функції, беручи для кожного x або напівсуму значень наших показових функцій – отримаємо y=1/2 (y=ex+ex), або їхня напіврізність: y=1/2 (y=ex-ex). Графіки цих нових функцій наведено на рис. 3 та рис. 4. Виявляється, що з них це і є одна з ланцюгових ліній. З нього шляхом простих перетворень, про які йтиметься нижче, можна отримати будь-яку ланцюгову лінію, симетричну щодо осі ординат. Щодо графіка, представленого на рис. 4 то він буде нами використаний як допоміжний засіб при переході від ланцюгової лінії рис. 3 до більш загального випадку ланцюгової лінії.

Підбір довжини ланцюжка.

Розглянемо докладніше зв’язок між кривою, зображеною на рис. 3, і формою ланцюжка, що висить. Уявімо, що ця крива викреслена на строго вертикальній і гладкій стіні і що нам дозволено забивати цвяхи в різні точки кривої. Заб’ємо їх, як радив Галілей, у точках A і B на одній горизонталі (втім, ця умова є несуттєвою). Підберемо тепер тонкий ланцюжок, довжина якого точно дорівнює 2l — довжині дуги AB — і кінці його закріпимо в A і B. Тоді ланцюжок провисне строго по дузі, яку ми наперед викреслили. Ніяких зазорів між нею та цією кривою не спостерігатиметься.

- Чудові криві - скачати безкоштовноПідбір ланцюжка потрібної довжини можна проводити шляхом спроб. Взяти ланцюжок достовірніше — із запасом, а потім підвішувати його за різні ланки в точках A і B, при необхідності збільшуючи або зменшуючи довжину провисає частини, поки не відбудеться збігу (рис. 5). Але можна зробити і інакше: знаючи d (половину відстані між цвяхами), знайти шляхом обчислення l (половину довжини дуги AB) і тоді вже брати ланцюжок, довжина якого точно дорівнює 2l. Такий підрахунок вдається з допомогою інтегралу. Вкажемо результат: l=1/2(ed-ed). Звідси випливає, що якщо взяти на графіку функції y=1/2(ex-ex) (рис. 4) x=d, то відповідна ордината у точки E цього графіка дорівнюватиме l.

Оскільки l=1/2(ed-ed)d, тобто. ця довжина більша, ніж абсцис точки підвісу.

А якщо довжина не та?

Як знайти рівняння лінії у разі, коли для даних точок підвісу A і B довжина ланцюжка 2l` не збігається з довжиною 2l дуги AB, що належить кривій y=1/2(ex-ex)? У пошуках відповіді ми спиратимемося на зазначений вище факт, що всі ланцюгові лінії подібні між собою.

Нехай, наприклад, l`>l. Тоді ланцюжок провисне деякою дугою AC`B, розташованою під дугою ACB (рис. 5). Ми покажемо, що потрібне рівняння ланцюгової лінії, якій належить дуга AC`B, можна знайти у три прийоми. Спочатку перейти від кривої (1): y=1/2(ex-ex) до деякої кривої (2): y=1/2(ex/kex/k); у точці O та коефіцієнтом подібності k (k>0). Потім перейти від кривої (2) до кривої (3): y=b+k/2(ex/kex/k) за допомогою зсуву попередньої у напрямку осі ординат (залежно від знака b вгору або вниз).

Вся хитрість у тому, щоб визначити коефіцієнт подоби k. З цією метою відзначимо у площині допоміжної кривої, зображеної на рис. 4, точку F з координатами x=d та y=l`. В силу того, що l`> l, вона не потрапить на криву, а виявиться вище за неї.

Продовжимо OF до перетину з кривою в деякій точці G (можна довести, що точка перетину знайдеться, крім точки O, і лише одна). Покладемо OF/OG (у разі 0

Усі ланцюгові лінії подібні.

- Чудові криві - скачати безкоштовно- Чудові криві - скачати безкоштовно

Знайдене число k використовуємо як коефіцієнт подібності перетворення кривої (1); як центр подібності візьмемо початок координат O. Тоді кожній точці P(x,y) кривої (1) буде відповідати точка Q(kx,ky) перетвореної кривої (2) (рис. 6). Якщо ввести позначення: X=kx, Y=ky, x=X/k, y=Y/k. Останні числа повинні задовольняти рівняння (1), оскільки точка P(x,y) лежить у ній. Отримуємо: Y/k=1/2(eX/keX/k). Це і є рівняння кривої (2), отриманої внаслідок перетворення. Великі літери для позначення координат можна замінити тут маленькими, пам’ятаючи, що тепер це координати будь-якої точки кривої (2).

Зауважимо, що точкам A` та B` кривою (1) з абсцисами –d/k та d/k будуть відповідати точки A« і B« кривої (2) з абсцисами –d і d(рис. 7). В силу подібності дуг A`B` і A«B« довжина A«B« дорівнюватиме 2l`, тобто дорівнює заданій довжині ланцюжка. У цьому полягає перевага кривої (2) перед вихідної кривої (1). Нестача її, однак, у тому, що крива (1) проходила через задані точки підвісу A і B, а крива (2) може через них і не проходити. Але цей недолік легко усунути. Якщо ордината точки B« (або A«): k/2(ed/k+ed/k) не дорівнює r, тобто B« не збігається з B, то покладемо rk/2(ed/k +ed/k)=b.

В результаті зсуву кривої (2) у напрямку осі ординат на величину b вона перейде в криву (3): y=b+k/2(ed/k+ed/k). Остання крива, по-перше, подібна до кривої (1) і, отже, є сама ланцюговою лінією. По-друге, вона проходить через задані точки підвісу: A(-d,r) та B(d,r). І, по-третє, довжина дуги AB дорівнює довжині даного ланцюжка 2l`. Ці умови і забезпечують, як це було доведено Бернуллі, Гюйгенсом та Лейбніцем, що ланцюжок провисне саме по дузі AB.

На цьому нарис про ланцюжок Галілея можна вважати закінченим.

Список використаної літератури

  1. А. І. Маркушевич «Чудові криві»; Москва; «Наука»-1978р.
  2. Г. Штейнгауз «Математичний калейдоскоп»; Москва; «ДержТехВидав»-1949р.
  3. Г. Н. Берман «Циклоїда»; Москва; «ДержТехВидав»-1954р.

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *