— Чисельне диференціювання — скачати безкоштовно

Нехай є функція
яку необхідно продиференціювати кілька разів і знайти цю похідну у певній точці.

Якщо заданий явний вид функції, вираз для похідної часто виявляється досить складним і бажано його замінити більш простим. Якщо ж функція задана лише у деяких точках (таблично), отримати явний вид її похідних взагалі неможливо. У цих ситуаціях виникає потреба наближеного (чисельного) диференціювання.

Найпростіша ідея чисельного диференціювання полягає в тому, що функція замінюється інтерполяційним багаточленом (Лагранжа, Ньютона) та похідна функції наближеного замінюється відповідною похідною інтерполяційного багаточлена.

Розглянемо найпростіші формули чисельного диференціювання, що виходять вказаним способом.

Припускатимемо, що функція задана в рівнокутних вузлах

Її значення та значення похідних у вузлах будемо позначати

Нехай функція задана у двох точках
і
її значення

Побудуємо інтерполяційний багаточлен першого ступеня

Похідна
дорівнює

Похідну функцію
у точці
приблизно замінюємо похідною інтерполяційного багаточлена

(1)

Величина
називається першою різницевою похідною.

Нехай
задана у трьох точках

Інтерполяційний багаточлен Ньютона другого ступеня має вигляд

Беремо похідну

У точці
вона дорівнює

Отримуємо наближену формулу

(2)

Величина
називається центральною різницевою похідною.

Зрештою, якщо взяти другу похідну

отримуємо наближену формулу.

(3)

Величина
називається другою різницевою похідною.

Формули (1) — (3) називаються формулами чисельного диференціювання.

Припускаючи функцію
достатня кількість разів безперервно диференційованої, отримаємо похибки наближених формул (1)-(3).

Надалі нам знадобиться така лема.

Лемма 1. Нехай
довільні точки,
Тоді існує така точка
що

Доказ. Очевидна нерівність

По теоремі Больцано-Коші про проміжні значення безперервної функції на замкнутому відрізку вона набуває всіх значень між
і
Значить, існує така точка
що виконує вказану в лемі рівність.

Похибки формул чисельного диференціювання дає така лема.

Лемма 2.

1.Припустимо, що
Тоді існує така точка
, що

(4)

Якщо
то існує така точка
, що

(5)

Коли
то існує
така, що

(6) Доказ. За формулою Тейлора

звідки слідує (4).

Якщо
то за формулою Тейлора

(7)

де

Підставимо (7) в
Отримуємо

Замінюючи відповідно до лем 1

отримуємо

Звідки і випливає (6).

Рівність (5) доводиться аналогічно (доказ провести самостійно).

Формули (4)-(6) називаються формулами чисельного диференціювання із залишковими членами.

Похибки формул (1)-(3) оцінюються за допомогою наступних нерівностей, що випливають із співвідношень (4)-(6):

Говорять, що похибка формули (1) має перший порядок щодо (або порядку ), а похибка формул (2) та (3) має другий порядок щодо
(або порядку
). Також кажуть, що формула чисельного диференціювання (1) першого порядку точності (щодо
), а формули (2) та (3) мають другий порядок точності.

Вказаним способом можна отримувати формули чисельного диференціювання для старших похідних і для більшої кількості вузлів інтерполювання.

Вибір оптимального кроку. Допустимо, що межа абсолютної похибки при обчисленні функції
у кожній точці задовольняє нерівності

(8)

Нехай в околиці точки
похідні, через які виражаються залишкові члени у формулах (5), (6), безперервні і задовольняють нерівності

(9)

де
— Деякі числа. Тоді повна похибка формул (2), (3) (без урахування похибок округлення) відповідно до (5), (6), (8), (9) не перевищує відповідно величин

Мінімізація за
цих величин призводить до наступних значень
:

(12)

при цьому

(13)

Якщо при вибраному для будь-якої формули (2), (3) значенні
відрізок
не виходить за межі околиці точки
, в якій виконується відповідна нерівність (9), то знайдене
є оптимальним та повна похибка чисельного диференціювання оцінюється відповідною величиною (13).

© Реферат плюс