Бінарна алгебраїчна операція
Химия

— Чисельне диференціювання — скачати безкоштовно


- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

Завантажити реферат: Чисельне диференціювання

Нехай є функція
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно яку необхідно продиференціювати кілька разів і знайти цю похідну у певній точці.

Якщо заданий явний вид функції, вираз для похідної часто виявляється досить складним і бажано його замінити більш простим. Якщо ж функція задана лише у деяких точках (таблично), отримати явний вид її похідних взагалі неможливо. У цих ситуаціях виникає потреба наближеного (чисельного) диференціювання.

Найпростіша ідея чисельного диференціювання полягає в тому, що функція замінюється інтерполяційним багаточленом (Лагранжа, Ньютона) та похідна функції наближеного замінюється відповідною похідною інтерполяційного багаточлена.

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

Розглянемо найпростіші формули чисельного диференціювання, що виходять вказаним способом.

Припускатимемо, що функція задана в рівнокутних вузлах

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно
Її значення та значення похідних у вузлах будемо позначати

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

Нехай функція задана у двох точках
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно і
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно її значення
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

Побудуємо інтерполяційний багаточлен першого ступеня

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

Похідна
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно дорівнює

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

Похідну функцію
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно у точці
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно приблизно замінюємо похідною інтерполяційного багаточлена

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно (1)

Величина
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно називається першою різницевою похідною.

Нехай
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно задана у трьох точках
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно - Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

Інтерполяційний багаточлен Ньютона другого ступеня має вигляд

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

Беремо похідну

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

У точці
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно вона дорівнює

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

Отримуємо наближену формулу

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно (2)

Величина
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно називається центральною різницевою похідною.

Зрештою, якщо взяти другу похідну

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно отримуємо наближену формулу.

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно (3)

Величина
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно називається другою різницевою похідною.

Формули (1) — (3) називаються формулами чисельного диференціювання.

Припускаючи функцію
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовнодостатня кількість разів безперервно диференційованої, отримаємо похибки наближених формул (1)-(3).

Надалі нам знадобиться така лема.

Лемма 1. Нехай
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно довільні точки,
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно Тоді існує така точка
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно що

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

Доказ. Очевидна нерівність

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

По теоремі Больцано-Коші про проміжні значення безперервної функції на замкнутому відрізку вона набуває всіх значень між
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно і
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно Значить, існує така точка
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно що виконує вказану в лемі рівність.

Похибки формул чисельного диференціювання дає така лема.

Лемма 2.

1.Припустимо, що
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно Тоді існує така точка
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно , що

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно (4)

Якщо
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно то існує така точка
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно , що

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно (5)

Коли
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно то існує
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно така, що

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно (6) Доказ. За формулою Тейлора

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

звідки слідує (4).

Якщо
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно то за формулою Тейлора

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно (7)

де
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

Підставимо (7) в
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно Отримуємо

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

Замінюючи відповідно до лем 1

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

отримуємо

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

Звідки і випливає (6).

Рівність (5) доводиться аналогічно (доказ провести самостійно).

Формули (4)-(6) називаються формулами чисельного диференціювання із залишковими членами.

Похибки формул (1)-(3) оцінюються за допомогою наступних нерівностей, що випливають із співвідношень (4)-(6):

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

Говорять, що похибка формули (1) має перший порядок щодо - Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно (або порядку - Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно ), а похибка формул (2) та (3) має другий порядок щодо
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно (або порядку
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно ). Також кажуть, що формула чисельного диференціювання (1) першого порядку точності (щодо
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно), а формули (2) та (3) мають другий порядок точності.

Вказаним способом можна отримувати формули чисельного диференціювання для старших похідних і для більшої кількості вузлів інтерполювання.

Вибір оптимального кроку. Допустимо, що межа абсолютної похибки при обчисленні функції
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно у кожній точці задовольняє нерівності

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно
(8)

Нехай в околиці точки
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно похідні, через які виражаються залишкові члени у формулах (5), (6), безперервні і задовольняють нерівності

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно (9)

де
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно — Деякі числа. Тоді повна похибка формул (2), (3) (без урахування похибок округлення) відповідно до (5), (6), (8), (9) не перевищує відповідно величин
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно

Мінімізація за
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно цих величин призводить до наступних значень
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно:

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно
(12)

при цьому

- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно (13)

Якщо при вибраному для будь-якої формули (2), (3) значенні
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно відрізок
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно не виходить за межі околиці точки
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно, в якій виконується відповідна нерівність (9), то знайдене
- Чисельне диференціювання - скачати безкоштовно є оптимальним та повна похибка чисельного диференціювання оцінюється відповідною величиною (13).

© Реферат плюс



Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *