Бінарна алгебраїчна операція
Химия

Бінарна алгебраїчна операція


Бінарна алгебраїчна операція

Завантажити реферат: Бінарна алгебраїчна операція

Для будь-яких двох елементів x і y, взятих з множини S визначена бінарна операція алгебри «*», якщо однозначно визначений елемент z = x * y, званий композицією або твором елементів x і y. До таких операцій відносяться операції складання, віднімання або множення на множині всіх дійсних (або комплексних) чисел, операція множення на множині всіх квадратних матриць певного порядку, операція композиції на множині всіх перестановок N елементів, операція векторного перемноження на множині всіх векторів тривимірного простору.

Поняття арифметичної операції досить широке. Його можна застосовувати практично до всіх операцій. Тому глибоке вивчення цього визначення не цілком допустиме.

Властивості операцій

При вивченні алгебри часто доводиться стикатися з операціями, що мають низку властивостей.

Властивість асоціативності

У наведених прикладах арифметичних операцій ця властивість виконується майже скрізь, крім операцій віднімання та операцій векторного твору.

Виходячи з якості асоціативності, можна дійти невтішного висновку, що твір будь-якої кількості співмножників визначено однозначно. Причому твір не залежить від того, як розставлені дужки:

Бінарна алгебраїчна операція

Однак при такому розміщенні не можна порушувати порядок, в якому слідують співмножники.

За допомогою якості асоціативності можна дізнатися рівень будь-якого елемента з натуральним показником ступеня. Наприклад:

Бінарна алгебраїчна операція (n співмножників).

Звичайні правила дій зі ступенями, за такої форми запису, також працюють:

Бінарна алгебраїчна операція

Бінарна алгебраїчна операція

Властивість комутативності

Бінарна алгебраїчна операція

Бінарна алгебраїчна операція

Властивість комутативності справедливо при додаванні та множенні чисел, але не допустимо при множенні матриць і композиції перестановок.

Якщо об’єднати якість асоціативності і комутативності, то можна хоч як переставляти співмножники у творі, незалежно від їхньої кількості. Також можна сказати, що:

Бінарна алгебраїчна операція

Властивість наявності нейтрального елемента

Бінарна алгебраїчна операція

Для арифметичної операції елемент n називається нейтральним. Елемент n залежить від того, який x ми виберемо. Наприклад, для складання нейтральний елемент – число нуль, для множення – число одиниця.

При множенні матриць нейтральним елементом буде одинична матриця, а при композиції перестановок — тотожна перестановка. Якщо перемноження буде векторним, то нейтральний елемент не буде.

Якщо в системі існує один нейтральний елемент, то (якщо асоціативна операція) існує можливість визначити ступінь з нульовим показником:

Бінарна алгебраїчна операція

При цьому елемент може бути будь-яким. Властивості ступеня зберігаються і за показника рівному 0.

Властивість наявності зворотного елемента

Цю властивість варто розглядати, якщо операція «*» має нейтральний елемент. Зворотний елемент
Бінарна алгебраїчна операція — це такий елемент, при множенні на який числа x виходить нейтральний елемент:

Бінарна алгебраїчна операція

При додаванні чисел можна сказати, що обернений елемент існує для будь-якого числа і дорівнює цьому ж числу, взятому з протилежним знаком. При множенні обернений елемент існує для всіх чисел крім 0.

При множенні матриць зворотний елемент дорівнює зворотній матриці. Він існує, якщо визначник матриці не дорівнює нулю (матриця невироджена).

Якщо елемент має зворотний, його називають «оборотним». Елемент
Бінарна алгебраїчна операція завжди звернемо, а зворотний вихідний елемент x. Для асоціативного твору двох оборотних елементів результат буде теж оборотним. Причому
Бінарна алгебраїчна операція.

Справді,
Бінарна алгебраїчна операціяі навпаки,

Якщо
Бінарна алгебраїчна операція — елемент, визначений однозначно, то ступеня x із негативним показником можна записати так:
Бінарна алгебраїчна операція, де m = 1, 2, … Правила дій зі ступенями зберігаються.

Зауваження: для певних алгебраїчних систем існує два різновиди операцій алгебри. Перша — додавання; позначається знаком (+). У цьому випадку говорять про адитивний спосіб запису операції. Друга – множення: позначається знаком

тоді говорять про мультиплікативний спосіб запису операції. Якщо операція записана адитивно, вона часто є комутативною. Тоді термін «зворотний» замінюється на «протилежний елемент». Такий елемент позначається (-x) і говорять про його кратність (nx), а не ступінь елемента.

Групи

  1. Група (G, *) — це безліч G, з певною на ньому бінарною операцією «*», за умови, що виконуються такі умови:
  2. Всі елементи G оборотні.
  3. Операція має нейтральний елемент.

Операція «*» є асоціативною.

  1. Наприклад:
  2. C — група комплексних чисел з операцією додавання (адитивна група комплексних чисел).
  3. Бінарна алгебраїчна операціяR — група дійсних чисел з операцією додавання (адитивна група дійсних чисел).
  4. Бінарна алгебраїчна операція— Група ненульових комплексних чисел з операцією множення (мультиплікативна група комплексних чисел).
  5. Бінарна алгебраїчна операція — Група ненульових дійсних чисел з операцією множення (мультиплікативна група дійсних чисел).
  6. Бінарна алгебраїчна операція — Група невироджених матриць порядку n з комплексними елементами.
  7. Бінарна алгебраїчна операція— Група невироджених матриць порядку n з дійсними елементами.

— Група перестановок множини 1, 2, …, n.

  1. В усіх прикладах виконуються умови існування групи. Наведемо деякі найпростіші властивості систем алгебри. Надалі вважатимемо, що x, y, z, … — Елементи деякої групи G.

Бінарна алгебраїчна операція Закон скорочення.

Бінарна алгебраїчна операція (Праве скорочення).

(ліве скорочення).
Бінарна алгебраїчна операціяДоведемо другий закон. За властивістю існування зворотного елемента

Бінарна алгебраїчна операціяБінарна алгебраїчна операціяБінарна алгебраїчна операціяБінарна алгебраїчна операціята властивості асоціативності операції отримаємо:

  1. y=z.

Єдиність нейтрального елемента.

Нейтральний елемент у будь-якій групі визначено однозначно.
Бінарна алгебраїчна операціяЯкщо
Бінарна алгебраїчна операція і
Бінарна алгебраїчна операція— нейтральні елементи, то за визначенням
Бінарна алгебраїчна операція, а
Бінарна алгебраїчна операціятому
Бінарна алгебраїчна операція . Нейтральний елемент групи G позначатимемо

  1. або e.

Бінарна алгебраїчна операція

Ознака нейтрального елемента.
Бінарна алгебраїчна операціяЯкщо
Бінарна алгебраїчна операціятоді
Бінарна алгебраїчна операція, звідки згідно із законом скорочення отримуємо

  1. .

Єдиність зворотного елемента.
Бінарна алгебраїчна операція Для кожного елемента x обернений елемент

  1. визначено однозначно. Справді, якщо елементи y і z є оберненими для x, то y * x = e і z * x = e, звідки y * x = z * x і за законом скорочення y = z.

Дозволеність будь-якого рівняння першого ступеня (існування зворотної операції).Бінарна алгебраїчна операція

.

Бінарна алгебраїчна операціяЕлемент z визначено однозначно. (Його називають «приватним» від розподілу y на x).
Бінарна алгебраїчна операція. Тому можна взяти
Бінарна алгебраїчна операція. Із закону скорочення:

.

Підгрупи
Бінарна алгебраїчна операція Група
Бінарна алгебраїчна операціяназивається підгрупою групи
Бінарна алгебраїчна операція , якщо, по-перше,
Бінарна алгебраїчна операція(як підмножина) і, по-друге,

.
Бінарна алгебраїчна операціяПідгрупа
Бінарна алгебраїчна операція позначається за допомогою символу увімкнення:Бінарна алгебраїчна операція або

.

  1. Підгрупи:
    Бінарна алгебраїчна операція Матриці з визначником 1 утворюють підгрупу
    Бінарна алгебраїчна операція в групі
  2. всіх невироджених матриць.
    Бінарна алгебраїчна операція Парні перестановки утворюють підгрупу
    Бінарна алгебраїчна операція в групі
  3. всіх перестановок.

Цілі числа з операцією додавання (Z) утворюють підгрупу групи R, яка, своєю чергою є підгрупою групи C.

  1. Бінарна алгебраїчна операціяДля того щоб перевірити, чи є підмножина H підгрупою G потрібно перевірити наступні умови:
  2. Бінарна алгебраїчна операція.
  3. Бінарна алгебраїчна операція.

.
Бінарна алгебраїчна операціяАле замість трьох цих умов можна перевірити лише одне:

. Цю умову називають ознакою підгрупи.



© Реферат плюс

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *