Аналіз ланцюга у часовій області методом змінних станів при постійних впливах

Дано:

Для схеми:

U 0

i 0

Скласти рівняння стану ланцюга при t і 0.

Змінними стану для даної схеми будуть напруги на ємностях З 1 і 4 . Для знаходження рівнянь стану запишемо рівняння за I та II законами Кірхгофа:

(1)

Для знаходження похідних змінних стану вирішимо наступну систему, отриману із системи (1), прийнявши за невідомі всі струми, що у системі (1) і перші похідні змінних стану. Змінні стани приймемо за відомі величини для отримання їх у правій частині рівнянь стану:

(2)

Вирішуємо цю систему у матричному вигляді за допомогою MathCad:

Знайти точні рішення рівнянь стану

Спочатку знайдемо коріння характеристичного рівняння як власні числа матриці, складеної з коефіцієнтів при змінних станах у рівняннях стану:

Загальний вигляд точних розв’язків рівнянь стану:

Вимушені складові знайдемо як приватне рішення рівнянь стану, враховуючи те, що якщо в ланцюзі включені лише постійні джерела живлення, значить, і вимушені складові будуть константами, відповідно похідні вимушених складових дорівнюватимуть нулю. Враховуючи вище сказане, знайдемо їх із рівнянь стану у такий спосіб:

Початкові умови (перебувають із схеми):

Для знаходження постійних інтегрування A 1 , A 2 , A 3 , A 4 потрібно 4 рівняння. Перші два рівняння отримаємо з виразів точного розв’язання рівнянь стану, враховуючи закони комутацій: змінні стани не змінюють свого значення у момент комутації

При t=0:

Далі знайдемо значення похідних змінних стану при t=0 із рівнянь стану:

Вирази цих похідних знайдені з виразів рішення рівнянь стану:

При t=0:

Таким чином маємо 4 рівняння для знаходження постійних інтегрування, знаходимо їх:

Точні рішення рівнянь стану:

Знайти рішення рівнянь стану, використовуючи один із чисельних методів.

Для чисельного розв’язання рівнянь стану скористаємося алгоритмом Ейлера:

Підставляючи вирази похідних із рівнянь стану:

h — крок розрахунку = 2 * 10 -6 с. i = 1 … 100. Змінними з нульовими індексами є значення початкових умов

Знайти точні рішення рівнянь стану. (Другий спосіб)

e(A)t = a 0 + a 1 (A) e(A)t =

(X) = [e (A)t -1][A] -1 [B][V]

Побудувати точні та чисельні рішення рівнянь стану, поєднавши їх попарно на одному графіку для кожної зі змінного стану

Частина 2

Аналіз ланцюга операторним методом при аперіодичному впливі

Аналізу підлягає наступний ланцюг:

Параметри імпульсу: U m =10 t u =6 * 10 -5 c

Форма імпульсу:

Визначити функцію передачі:

скористаємося методом пропорційних величин і визначимо u

Запишемо рівняння за законами Кірхгофа в операторній формі з огляду на те, що початкові умови нульові:

Вирішуємо цю систему:

Таким чином:

Функція передачі:

Знайти нулі та полюси функції передачі та нанести їх на площину комплексної частоти. Полюси:

Нулі:

Площина комплексної частоти:

Знайти перехідну та імпульсну характеристики для вихідної напруги.

Імпульсна характеристика:

Виділимо постійну частину в HU(s):

Чисельник дробу, що вийшов:

Спрощений вираз HU(s):

Для знаходження оригіналу скористаємося теоремою про розкладання. Для цього знайдемо похідну знаменника:

Коефіцієнти розкладання:

Оригінал імпульсної характеристики:

Перехідна характеристика:

Цим же методом знаходимо оригінал характеристики:

Визначити зображення за Лапласом вхідного імпульсу

Зображення по Лапласу фукції f

Вхідний імпульс є функцією

Тому зображення вхідного сигналу буде

Знайти напругу на виході схеми, використовуючи HU(s)

Зображення вихідного сигналу:

Знайдемо окремо оригінали частини виразу при
і при частині, що не має цього множника:

Для частини виразу при
,використовуючи теорему про розкладання:

Для частини виразу не має множника
,використовуючи теорему про розкладання:

Функція напруги на виході схеми, отримана з використанням теореми про зсув оригіналу:

2.6 Побудувати на одному графіку перехідну та імпульсну характеристики ланцюга, на іншому – вхідний та вихідний сигнали

Перехідна h 1

Вхідний та вихідний сигнали

Частина 3

Аналіз ланцюга частотним методом при аперіодичному впливі

Знайти та побудувати амплітудно-фазову (АФХ), амлітудно-частотну (АЧХ) та фазо-частотну (ФЧХ) характеристики функцій передачі HU (s)

амплітудно-фазова характеристика:

амплітудно-частотна характеристика:

фазо-частотна характеристика:

Графік АЧХ:

Графік ФЧХ:

Визначити смугу пропускання ланцюга за рівнем 0.707

З графіка АЧХ знаходимо смугу пропускання ланцюга:
з 1

Знайти та побудувати амплітудний та фазовий спектри вхідного сигналу за рівнем 0.1

Амплітудний спектр вхідного сигналу:

Фазовий спектр вхідного сигналу:

Графік амплітудного та фазового спектру вхідного сигналу:

Ширина спектру

з 1

Зіставляючи спектри вхідного сигналу з частотними характеристиками ланцюга, дати попередні висновки про очікувані спотворення сигналу на виході ланцюга

Істотна частина амплітудного спектра вхідного сигналу укладається в смугу пропускання, виключаючи смугу 0-5*10 4 з -1 де і будуть спостерігатися основні амплітудні спотворення. Фазочастотна характеристика ланцюга нелінійна, тому тут матимуть місце фазові спотворення, що видно на рис.

Знайти та побудувати амплітудний та фазовий спектр вихідного сигналу

Виходять за формулами:

3.6 Визначити вихідний сигнал за речовою частотною характеристикою, використовуючи наближений метод Гіллеміну.

Речовина характеристика:

Істотну частину цієї характеристики шматково-лінійно апроксимуємо. Накреслимо першу і другу похідну шматково-лінійної апроксимуючої функції

Графік речовинної характеристики:

Тоді:

Графік напруги, обчисленого за цією формулою, та отриманий у ч.2

Частина 4

Аналіз ланцюга частотним методом при періодичній дії

Дано: T = 18 * 10 -5 с. U m =10 Ст tu =6*10 -5 c

форма сигналу u 0

Розкласти в ряд Фур’є задану періодичну послідовність імпульсів та побудувати її амплітудний та фазовий спектри.

Коефіцієнти ряду Фур’є для u 0

де w 1 = 2 p / Т, k = 0, 1, 2, … w 1 = 3.491 * 10 4 с.

Значення Ak і ak наведені в табл. , На рис. , Побудовані відповідно амплітудний і фазовий спектри заданої періодично послідовності сигналів u 0

Таким чином, відповідно до ширини спектру

Побудувати на одному графіку задану періодичну послідовність імпульсів та її апроксимацію відрізком ряду Фур’є, число гармонік якого визначається шириною амплітудного спектра вхідного сигналу, знайденою в 3.3.

4.3 Використовуючи розраховані у п. 3.1 АЧХ та ФЧХ функції передачі ланцюга, визначити напругу або струм на виході ланцюга у вигляді відрізка ряду Фур’є.

Для визначення коефіцієнтів низки Фур’є вихідної напруги обчислимо значення АЧХ і ФЧХ функції передачі значень kw 1 , k=0, 1, 2, …, 8. Тоді

У результаті отримаємо:

© Реферат плюс