8. Принцип неопределённости в квантовой механике. Квантовые пределы точности измерений.
Химия

8. Принцип неопределённости в квантовой механике. Квантовые пределы точности измерений.


8. Принцип неопределённости в квантовой механике. Квантовые пределы точности измерений.

В 1927 г. В. Гейзенберг установил так называемый принцип неопределённости, согласно которому: невозможно одновременно точно осуществить одновременное измерение координаты и импульса микрочастицы. Это означает, в свою очередь, что осуществление измерения одной величины, исключает возможность измерения другой физической величины, дополнительной к ней. При этом, чем точней будет измерена координата микрочастицы, тем больше будет неопределённость в измерении импульса, и наоборот. Немного ранее Н. Бор сформулировал один из основополагающих принципов квантовой механики – так называемый принцип дополнительности, согласно которому невозможно точно измерить одну физическую величину микрообъекта без потери информации о величине, дополнительной к ней. Так, пусть исследуется состояние частицы в заданный момент времени. Если нужно зафиксировать положение частицы в пространстве, то для измерения координат необходимо визуально её наблюдать. Для этого требуется, например, освещение частицы светом длиной волны clip_image002. Однако из-за известных эффектов дифракции точность определения любой из координат, например координаты clip_image004, не может превзойти значение длины волны clip_image002[1], т.е. неточность clip_image006 в измерении clip_image004[1] имеет порядок величины длины волны clip_image008. В то же время свет с длиной волны clip_image002[2] представляет собой поток фотонов с импульсом:

clip_image010

откуда для компоненты clip_image004[2] имеем соответственно:

clip_image012

С другой стороны, при освещении электрона, первоначальный его импульс из-за столкновения с фотоном изменяется на величину порядка импульса фотона, т.е. неточность в определении импульса электрона clip_image014. Следовательно, справедливым будет соотношение:

clip_image016

откуда:

clip_image018

Очевидно для двух других компонент импульса, будем иметь соответственно:

clip_image020

clip_image022

Полученные соотношения не разрешают точного определения всех параметров траектории (например, если clip_image024, то clip_image026). Отсюда следует, что если точно определить координату частицы, то ничего нельзя сказать об её импульсе и наоборот. Из соотношения неопределённости следует, что чем точнее определено значение одной из входящих в него величин, тем менее определено будет значение другой, дополнительной к ней величины. Существенно то, что никакие другие мыслимые эксперименты не могут обойти соотношение неопределённости. Это значит, что импульс и координата одновременно не могут быть заданы в принципе, то есть понятие траектории движения для микрочастиц теряет свой смысл. По этой причине выражение:

clip_image028

для атомных явлений оказывается неприменимым. Итак, для случая трёх пространственных координат, соотношение неопределённости может быть в общем случае задано системой уравнений вида:

clip_image018[1]

clip_image020[1]

clip_image022[1]

В применении к интересующему нас здесь волновому пакету, полученные выше уравнения можно будет переписать далее в виде:

clip_image030

clip_image032

clip_image034

Поскольку имеет место расплывание пакета, не учтённое при выводе данных формул, полученные выше уравнения будет правильней представить как:

clip_image036clip_image038

clip_image040clip_image038[1]

clip_image042clip_image038[2]

Обсудим теперь смысл данных неравенств, исходя из вероятностной трактовки волновой функции. Так, если ширина волнового пакета равна clip_image006[1], то измерения координаты электрона покажут, что с подавляюще большой вероятностью он будет обнаружен, очевидно, в области пространства clip_image006[2]. В этом смысле можно говорить о том, что координата электрона определена с точностью до величины clip_image006[3]. При этом, однако, электрон, находящийся в области clip_image006[4], не описывается плоской волной и не имеет определённого значения импульса. Для образования волнового пакета шириной clip_image006[5] необходимо было создать суперпозицию плоских волн с импульсами в интервале clip_image045, где clip_image047 определено по формуле clip_image049clip_image051. Это в свою очередь означает, что измерение импульса электрона, локализованного в области clip_image006[6], будут приводить к значениям импульса, лежащим в указанном интервале. Иными словами, неопределённость в значении координаты электрона clip_image006[7] (локализованного в области clip_image006[8]) и неопределённость в значении его импульса clip_image047[1] связаны соотношением clip_image049[1]clip_image051[1]. Напротив, если задан интервал импульсов clip_image047[2], то формула clip_image049[2]clip_image051[2] показывает, что частица с подавляюще большой вероятностью будет обнаружена в области пространства размером:

clip_image053

Из равенства clip_image049[3]clip_image051[3] следует, что величины clip_image006[9] и clip_image047[3] не могут быть равны нулю одновременно. Это означает, что координата clip_image004[3] и сопряжённый с ней импульс clip_image056 не могут одновременно иметь вполне определённые значения. Таким образом, классические понятия пространственного положения и величины импульса применимы к микрочастице в определённых пределах, даваемых соотношениями Гейзенберга. Всякая попытка одновременно применить к микрочастице понятия импульса и координаты с большей точностью, вне рамок соотношений неопределённости, не имеет смысла. Это обстоятельство связано с самой природой микрочастиц, с их корпускулярно-волновыми свойствами. В этой связи нужно предостеречь от ошибки, допускаемой некоторыми авторами, которые полагают, что соотношения неопределённости Гейзенберга дают ту степень точности, с которой могут быть определены координаты и импульс микрочастицы в рамках квантовой механики. По их мнению, для более точного одновременного определения координат и импульсов необходимо дальнейшее развитие теории. В действительности это не так. Микрочастица является совершенно новым, отнюдь не классическим, объектом со своими характерными свойствами и законами движения. Как мы уже указывали, отличительной особенностью микрочастиц является обнаруживаемый ими дуализм корпускулярных и волновых свойств. Из дифракционных опытов вытекает, что частица не имеет траектории. Поэтому описывать её движение, задавая точное значение координаты и импульса в каждый момент времени, как это делается в классической механике, невозможно. Однако можно указать с некоторой степенью точности величину той области пространства, в которой частица с подавляюще большой вероятностью будет обнаружена, и интервал тех значений импульса, которым она при этом обладает. Значение этих величин даётся соотношениями Гейзенберга. Заметим, что когда частица имеет вполне определённое значение импульса clip_image058, то согласно clip_image049[4]clip_image051[4] её положение совершенно неопределённо, то есть clip_image060. Действительно, состояние с определённым импульсом описывается плоской волной де Бройля. Для такой волны квадрат модуля волной функции clip_image062 постоянен, то есть частица с одинаковой вероятностью может быть обнаружена в любой точке пространства. С другой стороны, если задано вполне определённое положение частицы в данный момент времени, то её импульс совершенно не определён. Так, имеем:

clip_image036[1]clip_image038[3]

clip_image040[1]clip_image038[4]

clip_image042[1]clip_image038[5]

учитывая, что:

clip_image064

имеем соответственно:

clip_image066clip_image038[6]

clip_image068clip_image038[7]

clip_image070clip_image038[8]

или в окончательном виде:

clip_image072clip_image074

clip_image076clip_image074[1]

clip_image078clip_image074[2]

Соотношение неопределённости Гейзенберга, записанное в таком виде, показывает, что понятия классической физики оказываются применимыми с тем большей степени точности, чем больше масса частицы. Ввиду малости постоянной Планка clip_image051[5], неопределённость в значениях координаты и скорости становится пренебрежимо малой у частиц макроскопически малого, но ещё не атомного размера. Приведенные соображения являются иллюстрацией общего важного положения квантовой механики, именуемого принципом соответствия, согласно которому при переходе к пределу clip_image081, то есть в предположении, что эффектами, пропорциональными постоянной Планка clip_image051[6], можно пренебречь, законы и соотношения квантовой механики переходят в соответствующие законы и соотношения классической механики. В частности, у частиц с большой массой отношение clip_image083 столь мало, что практически её координата и скорость имеют определённые значения. Такая частица обладает траекторией, по которой она движется в соответствии с законами классической механики. Важность принципа соответствия заключается в том, что он служит методом отыскания квантово-механических аналогов классических величин. Квантовая механика содержит в себе классическую механику как некоторый предельный случай, отвечающий clip_image081[1]. Благодаря принципу соответствия, оказывается возможным установить связь между некоторыми квантово-механическими величинами и понятиями классической механики. Наряду с приведенными выше рассуждениями, соотношения неопределённости часто получают из обсуждения возможной степени точности определения координаты и импульса микрочастицы в различных принципиально возможных экспериментах. Так, если задана область возможного движения микрочастицы, например, размер clip_image085 атома или ядра, то соотношения неопределённости позволяют качественно оценить значения её импульса и энергии. Действительно, абсолютная величина импульса того же порядка, что и его неопределённость clip_image087. Следовательно, clip_image089clip_image091, а энергия частицы:

clip_image093

откуда хорошо видно, что с уменьшением области локализации энергия возрастает. Данная проблема имеет принципиальное значение, поскольку касается одного из важнейших вопросов квантовой механики – вопроса касающегося квантовых пределов точности измерений. Данные вопросы относятся на сегодняшний день к наиболее актуальным проблемам в современной науке. Это связано прежде всего с бурным развитием наиболее приоритетных областей физики и химии конденсированного состояния вещества. Данная проблема получила название проблемы «толстых пальцев», под которой подразумевается сложность манипулирования наночастицами. Другая пара величин, связанных между собой соотношением неопределённостей – это энергия системы clip_image095 и время clip_image097, в течение которого система имеет это значение энергии:

clip_image099

Отсюда следует, что если имеется возможность наблюдать динамическую систему в течение времени clip_image101, то её энергия может быть определена с точностью:

clip_image103

Таким образом, соотношение неопределённостей устанавливает фундаментальные, принципиально непреодолимые пределы точности измерений. Можно даже сказать, что природа позволяет изучать себя с точностью только до соотношения неопределённостей и не более того. Не один эксперимент не может привести к одновременному и точному измерению величин, которые являются дополнительными друг к другу. Принцип неопределённости часто объясняют влиянием измерительного прибора на частицы. С одной стороны, это оправдано, поскольку большинство измерительных приборов, так или иначе, являются макроскопическими, грубыми по отношению к размерам квантовых объектов. Понятно, что чем больше техническое несовершенство измерительного прибора, тем менее определёнными (точными) будут измерения. С другой стороны, неопределённость в измерениях связана не только с несовершенством измерительной техники, но и с объективными свойствами материи, так как любое измерение, как физический процесс, обязательно сопровождается каким-либо воздействием на объект, в процессе измерения.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *